Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71898 / 95867
↖ ↑ ↗
← S 63.698638°
E 17.473755°		 ← 135.30 m → S 63.698638°
E 17.476501°		 →
↑
135.32 m
↓
↑
135.32 m
↓
S 63.699855°
E 17.473755°		 ← 135.30 m →
18 309 m²		 S 63.699855°
E 17.476501°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71898 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95867 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.548542022705078 y=0.731410980224609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.548542022705078 × 217)
    floor (0.548542022705078 × 131072)
    floor (71898.5)     		tx = 71898
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.731410980224609 × 217)
    floor (0.731410980224609 × 131072)
    floor (95867.5)     		ty = 95867
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71898 / 95867 ti = "17/71898/95867"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71898/95867.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71898 ÷ 217
    71898 ÷ 131072     		x = 0.548538208007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95867 ÷ 217
    95867 ÷ 131072     		y = 0.731407165527344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.548538208007812 × 2 - 1) × π
    0.097076416015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.30497456
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.731407165527344 × 2 - 1) × π
    -0.462814331054688 × 3.1415926535     		Φ = -1.45397410237592
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.30497456} λ = 0.30497456}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.45397410237592))-π/2
    2×atan(0.233639931644914)-π/2
    2×0.229522681172313-π/2
    0.459045362344626-1.57079632675     		φ = -1.11175096
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.30497456} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 17.473755°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11175096 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.698638°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71898 KachelY 95867 0.30497456 -1.11175096 17.473755 -63.698638
    Oben rechts KachelX + 1 71899 KachelY 95867 0.30502249 -1.11175096 17.476501 -63.698638
    Unten links KachelX 71898 KachelY + 1 95868 0.30497456 -1.11177220 17.473755 -63.699855
    Unten rechts KachelX + 1 71899 KachelY + 1 95868 0.30502249 -1.11177220 17.476501 -63.699855
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11175096--1.11177220) × R
    2.12400000001445e-05 × 6371000     		dl = 135.32004000092m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11175096--1.11177220) × R
    2.12400000001445e-05 × 6371000     		dr = 135.32004000092m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.30497456-0.30502249) × cos(-1.11175096) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.4430925033374 × 6371000     		do = 135.303626296816m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.30497456-0.30502249) × cos(-1.11177220) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.443073462089407 × 6371000     		du = 135.297811822675m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11175096)-sin(-1.11177220))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.4430925033374-0.443073462089407)×R²
    abs(0.30502249-0.30497456)×1.90412479939006e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.90412479939006e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.90412479939006e-05×40589641000000     		ar = 18308.8987160185m²