Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71898 / 95866
↖ ↑ ↗
← S 63.697421°
E 17.473755°		 ← 135.31 m → S 63.697421°
E 17.476501°		 →
↑
135.32 m
↓
↑
135.32 m
↓
S 63.698638°
E 17.473755°		 ← 135.30 m →
18 310 m²		 S 63.698638°
E 17.476501°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71898 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95866 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.548542022705078 y=0.731403350830078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.548542022705078 × 217)
    floor (0.548542022705078 × 131072)
    floor (71898.5)     		tx = 71898
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.731403350830078 × 217)
    floor (0.731403350830078 × 131072)
    floor (95866.5)     		ty = 95866
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71898 / 95866 ti = "17/71898/95866"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71898/95866.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71898 ÷ 217
    71898 ÷ 131072     		x = 0.548538208007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95866 ÷ 217
    95866 ÷ 131072     		y = 0.731399536132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.548538208007812 × 2 - 1) × π
    0.097076416015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.30497456
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.731399536132812 × 2 - 1) × π
    -0.462799072265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.4539261654763
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.30497456} λ = 0.30497456}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.4539261654763))-π/2
    2×atan(0.233651131887315)-π/2
    2×0.229533301640846-π/2
    0.459066603281692-1.57079632675     		φ = -1.11172972
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.30497456} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 17.473755°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11172972 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.697421°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71898 KachelY 95866 0.30497456 -1.11172972 17.473755 -63.697421
    Oben rechts KachelX + 1 71899 KachelY 95866 0.30502249 -1.11172972 17.476501 -63.697421
    Unten links KachelX 71898 KachelY + 1 95867 0.30497456 -1.11175096 17.473755 -63.698638
    Unten rechts KachelX + 1 71899 KachelY + 1 95867 0.30502249 -1.11175096 17.476501 -63.698638
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11172972--1.11175096) × R
    2.12399999999224e-05 × 6371000     		dl = 135.320039999506m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11172972--1.11175096) × R
    2.12399999999224e-05 × 6371000     		dr = 135.320039999506m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.30497456-0.30502249) × cos(-1.11172972) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.443111544385498 × 6371000     		do = 135.309440709917m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.30497456-0.30502249) × cos(-1.11175096) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.4430925033374 × 6371000     		du = 135.303626296816m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11172972)-sin(-1.11175096))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.443111544385498-0.4430925033374)×R²
    abs(0.30502249-0.30497456)×1.9041048098023e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.9041048098023e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.9041048098023e-05×40589641000000     		ar = 18309.6855266574m²