Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7189 / 10892
↖ ↑ ↗
← S 50.903033°
W 22.038574°		 ← 1 540.78 m → S 50.903033°
W 22.016602°		 →
↑
1 540.57 m
↓
↑
1 540.57 m
↓
S 50.916887°
W 22.038574°		 ← 1 540.32 m →
2 373 323 m²		 S 50.916887°
W 22.016602°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7189 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10892 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438812255859375 y=0.664825439453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438812255859375 × 214)
    floor (0.438812255859375 × 16384)
    floor (7189.5)     		tx = 7189
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.664825439453125 × 214)
    floor (0.664825439453125 × 16384)
    floor (10892.5)     		ty = 10892
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7189 / 10892 ti = "14/7189/10892"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7189/10892.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7189 ÷ 214
    7189 ÷ 16384     		x = 0.43878173828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10892 ÷ 214
    10892 ÷ 16384     		y = 0.664794921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43878173828125 × 2 - 1) × π
    -0.1224365234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.38464568
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.664794921875 × 2 - 1) × π
    -0.32958984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.03543703179321
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38464568} λ = -0.38464568}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.03543703179321))-π/2
    2×atan(0.355071169621307)-π/2
    2×0.341185402329938-π/2
    0.682370804659875-1.57079632675     		φ = -0.88842552
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38464568} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.038574°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88842552 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.903033°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7189 KachelY 10892 -0.38464568 -0.88842552 -22.038574 -50.903033
    Oben rechts KachelX + 1 7190 KachelY 10892 -0.38426219 -0.88842552 -22.016602 -50.903033
    Unten links KachelX 7189 KachelY + 1 10893 -0.38464568 -0.88866733 -22.038574 -50.916887
    Unten rechts KachelX + 1 7190 KachelY + 1 10893 -0.38426219 -0.88866733 -22.016602 -50.916887
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88842552--0.88866733) × R
    0.000241810000000009 × 6371000     		dl = 1540.57151000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88842552--0.88866733) × R
    0.000241810000000009 × 6371000     		dr = 1540.57151000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38464568--0.38426219) × cos(-0.88842552) × R
    0.000383489999999986 × 0.630634729841203 × 6371000     		do = 1540.77609903563m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38464568--0.38426219) × cos(-0.88866733) × R
    0.000383489999999986 × 0.630447047552207 × 6371000     		du = 1540.31755089133m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88842552)-sin(-0.88866733))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.630634729841203-0.630447047552207)×R²
    abs(-0.38426219--0.38464568)×0.000187682288995794×R²
    0.000383489999999986×0.000187682288995794×6371000²
    0.000383489999999986×0.000187682288995794×40589641000000     		ar = 2373322.55992472m²