Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71889 / 78385
↖ ↑ ↗
← S 33.250173°
E 17.449035°		 ← 255.42 m → S 33.250173°
E 17.451782°		 →
↑
255.41 m
↓
↑
255.41 m
↓
S 33.252470°
E 17.449035°		 ← 255.42 m →
65 238 m²		 S 33.252470°
E 17.451782°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71889 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78385 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.548473358154297 y=0.598033905029297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.548473358154297 × 217)
    floor (0.548473358154297 × 131072)
    floor (71889.5)     		tx = 71889
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.598033905029297 × 217)
    floor (0.598033905029297 × 131072)
    floor (78385.5)     		ty = 78385
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71889 / 78385 ti = "17/71889/78385"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71889/78385.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71889 ÷ 217
    71889 ÷ 131072     		x = 0.548469543457031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78385 ÷ 217
    78385 ÷ 131072     		y = 0.598030090332031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.548469543457031 × 2 - 1) × π
    0.0969390869140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.30454312
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.598030090332031 × 2 - 1) × π
    -0.196060180664062 × 3.1415926535     		Φ = -0.615941223218102
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.30454312} λ = 0.30454312}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.615941223218102))-π/2
    2×atan(0.540132270948075)-π/2
    2×0.495235666405341-π/2
    0.990471332810683-1.57079632675     		φ = -0.58032499
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.30454312} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 17.449035°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.58032499 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.250173°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71889 KachelY 78385 0.30454312 -0.58032499 17.449035 -33.250173
    Oben rechts KachelX + 1 71890 KachelY 78385 0.30459106 -0.58032499 17.451782 -33.250173
    Unten links KachelX 71889 KachelY + 1 78386 0.30454312 -0.58036508 17.449035 -33.252470
    Unten rechts KachelX + 1 71890 KachelY + 1 78386 0.30459106 -0.58036508 17.451782 -33.252470
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.58032499--0.58036508) × R
    4.00899999999371e-05 × 6371000     		dl = 255.413389999599m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.58032499--0.58036508) × R
    4.00899999999371e-05 × 6371000     		dr = 255.413389999599m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.30454312-0.30459106) × cos(-0.58032499) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.836284503446139 × 6371000     		do = 255.422813315698m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.30454312-0.30459106) × cos(-0.58036508) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.836262521597492 × 6371000     		du = 255.416099493308m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.58032499)-sin(-0.58036508))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.836284503446139-0.836262521597492)×R²
    abs(0.30459106-0.30454312)×2.19818486468792e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.19818486468792e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.19818486468792e-05×40589641000000     		ar = 65237.5492408441m²