Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71887 / 95450
↖ ↑ ↗
← S 63.186585°
E 17.443543°		 ← 137.77 m → S 63.186585°
E 17.446289°		 →
↑
137.80 m
↓
↑
137.80 m
↓
S 63.187825°
E 17.443543°		 ← 137.77 m →
18 985 m²		 S 63.187825°
E 17.446289°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71887 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95450 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.548458099365234 y=0.728229522705078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.548458099365234 × 217)
    floor (0.548458099365234 × 131072)
    floor (71887.5)     		tx = 71887
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.728229522705078 × 217)
    floor (0.728229522705078 × 131072)
    floor (95450.5)     		ty = 95450
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71887 / 95450 ti = "17/71887/95450"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71887/95450.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71887 ÷ 217
    71887 ÷ 131072     		x = 0.548454284667969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95450 ÷ 217
    95450 ÷ 131072     		y = 0.728225708007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.548454284667969 × 2 - 1) × π
    0.0969085693359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.30444725
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.728225708007812 × 2 - 1) × π
    -0.456451416015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.43398441523436
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.30444725} λ = 0.30444725}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.43398441523436))-π/2
    2×atan(0.238357313189998)-π/2
    2×0.233991181491148-π/2
    0.467982362982296-1.57079632675     		φ = -1.10281396
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.30444725} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 17.443543°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10281396 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.186585°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71887 KachelY 95450 0.30444725 -1.10281396 17.443543 -63.186585
    Oben rechts KachelX + 1 71888 KachelY 95450 0.30449519 -1.10281396 17.446289 -63.186585
    Unten links KachelX 71887 KachelY + 1 95451 0.30444725 -1.10283559 17.443543 -63.187825
    Unten rechts KachelX + 1 71888 KachelY + 1 95451 0.30449519 -1.10283559 17.446289 -63.187825
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10281396--1.10283559) × R
    2.16299999999947e-05 × 6371000     		dl = 137.804729999966m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10281396--1.10283559) × R
    2.16299999999947e-05 × 6371000     		dr = 137.804729999966m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.30444725-0.30449519) × cos(-1.10281396) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.451086507002327 × 6371000     		do = 137.77343020527m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.30444725-0.30449519) × cos(-1.10283559) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.451067202549404 × 6371000     		du = 137.767534128451m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10281396)-sin(-1.10283559))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.451086507002327-0.451067202549404)×R²
    abs(0.30449519-0.30444725)×1.93044529226971e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.93044529226971e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.93044529226971e-05×40589641000000     		ar = 18985.424097636m²