Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71885 / 95452
↖ ↑ ↗
← S 63.189064°
E 17.438050°		 ← 137.73 m → S 63.189064°
E 17.440796°		 →
↑
137.74 m
↓
↑
137.74 m
↓
S 63.190302°
E 17.438050°		 ← 137.73 m →
18 971 m²		 S 63.190302°
E 17.440796°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71885 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95452 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.548442840576172 y=0.728244781494141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.548442840576172 × 217)
    floor (0.548442840576172 × 131072)
    floor (71885.5)     		tx = 71885
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.728244781494141 × 217)
    floor (0.728244781494141 × 131072)
    floor (95452.5)     		ty = 95452
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71885 / 95452 ti = "17/71885/95452"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71885/95452.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71885 ÷ 217
    71885 ÷ 131072     		x = 0.548439025878906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95452 ÷ 217
    95452 ÷ 131072     		y = 0.728240966796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.548439025878906 × 2 - 1) × π
    0.0968780517578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.30435138
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.728240966796875 × 2 - 1) × π
    -0.45648193359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.4340802890336
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.30435138} λ = 0.30435138}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.4340802890336))-π/2
    2×atan(0.238334462064235)-π/2
    2×0.233969558727806-π/2
    0.467939117455612-1.57079632675     		φ = -1.10285721
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.30435138} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 17.438050°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10285721 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.189064°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71885 KachelY 95452 0.30435138 -1.10285721 17.438050 -63.189064
    Oben rechts KachelX + 1 71886 KachelY 95452 0.30439931 -1.10285721 17.440796 -63.189064
    Unten links KachelX 71885 KachelY + 1 95453 0.30435138 -1.10287883 17.438050 -63.190302
    Unten rechts KachelX + 1 71886 KachelY + 1 95453 0.30439931 -1.10287883 17.440796 -63.190302
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10285721--1.10287883) × R
    2.16200000000555e-05 × 6371000     		dl = 137.741020000354m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10285721--1.10287883) × R
    2.16200000000555e-05 × 6371000     		dr = 137.741020000354m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.30435138-0.30439931) × cos(-1.10285721) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.451047906810444 × 6371000     		do = 137.732904450813m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.30435138-0.30439931) × cos(-1.10287883) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.451028610860653 × 6371000     		du = 137.727012200414m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10285721)-sin(-1.10287883))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.451047906810444-0.451028610860653)×R²
    abs(0.30439931-0.30435138)×1.92959497910539e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.92959497910539e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.92959497910539e-05×40589641000000     		ar = 18971.0649451071m²