Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71870 / 95882
↖ ↑ ↗
← S 63.716887°
E 17.396850°		 ← 135.24 m → S 63.716887°
E 17.399597°		 →
↑
135.26 m
↓
↑
135.26 m
↓
S 63.718104°
E 17.396850°		 ← 135.24 m →
18 292 m²		 S 63.718104°
E 17.399597°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71870 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95882 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.548328399658203 y=0.731525421142578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.548328399658203 × 217)
    floor (0.548328399658203 × 131072)
    floor (71870.5)     		tx = 71870
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.731525421142578 × 217)
    floor (0.731525421142578 × 131072)
    floor (95882.5)     		ty = 95882
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71870 / 95882 ti = "17/71870/95882"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71870/95882.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71870 ÷ 217
    71870 ÷ 131072     		x = 0.548324584960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95882 ÷ 217
    95882 ÷ 131072     		y = 0.731521606445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.548324584960938 × 2 - 1) × π
    0.096649169921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.30363232
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.731521606445312 × 2 - 1) × π
    -0.463043212890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.45469315587022
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.30363232} λ = 0.30363232}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.45469315587022))-π/2
    2×atan(0.233471992421535)-π/2
    2×0.229363428903675-π/2
    0.458726857807351-1.57079632675     		φ = -1.11206947
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.30363232} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 17.396850°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11206947 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.716887°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71870 KachelY 95882 0.30363232 -1.11206947 17.396850 -63.716887
    Oben rechts KachelX + 1 71871 KachelY 95882 0.30368026 -1.11206947 17.399597 -63.716887
    Unten links KachelX 71870 KachelY + 1 95883 0.30363232 -1.11209070 17.396850 -63.718104
    Unten rechts KachelX + 1 71871 KachelY + 1 95883 0.30368026 -1.11209070 17.399597 -63.718104
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11206947--1.11209070) × R
    2.12299999999832e-05 × 6371000     		dl = 135.256329999893m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11206947--1.11209070) × R
    2.12299999999832e-05 × 6371000     		dr = 135.256329999893m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.30363232-0.30368026) × cos(-1.11206947) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.442806944328787 × 6371000     		do = 135.24463864867m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.30363232-0.30368026) × cos(-1.11209070) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.442787909050499 × 6371000     		du = 135.238824784713m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11206947)-sin(-1.11209070))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.442806944328787-0.442787909050499)×R²
    abs(0.30368026-0.30363232)×1.90352782879488e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.90352782879488e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.90352782879488e-05×40589641000000     		ar = 18292.3002954556m²