Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71870 / 95551
↖ ↑ ↗
← S 63.311449°
E 17.396850°		 ← 137.18 m → S 63.311449°
E 17.399597°		 →
↑
137.17 m
↓
↑
137.17 m
↓
S 63.312683°
E 17.396850°		 ← 137.17 m →
18 816 m²		 S 63.312683°
E 17.399597°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71870 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95551 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.548328399658203 y=0.729000091552734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.548328399658203 × 217)
    floor (0.548328399658203 × 131072)
    floor (71870.5)     		tx = 71870
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.729000091552734 × 217)
    floor (0.729000091552734 × 131072)
    floor (95551.5)     		ty = 95551
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71870 / 95551 ti = "17/71870/95551"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71870/95551.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71870 ÷ 217
    71870 ÷ 131072     		x = 0.548324584960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95551 ÷ 217
    95551 ÷ 131072     		y = 0.728996276855469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.548324584960938 × 2 - 1) × π
    0.096649169921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.30363232
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.728996276855469 × 2 - 1) × π
    -0.457992553710938 × 3.1415926535     		Φ = -1.43882604209599
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.30363232} λ = 0.30363232}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.43882604209599))-π/2
    2×atan(0.237206065225227)-π/2
    2×0.232901541982323-π/2
    0.465803083964646-1.57079632675     		φ = -1.10499324
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.30363232} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 17.396850°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10499324 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.311449°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71870 KachelY 95551 0.30363232 -1.10499324 17.396850 -63.311449
    Oben rechts KachelX + 1 71871 KachelY 95551 0.30368026 -1.10499324 17.399597 -63.311449
    Unten links KachelX 71870 KachelY + 1 95552 0.30363232 -1.10501477 17.396850 -63.312683
    Unten rechts KachelX + 1 71871 KachelY + 1 95552 0.30368026 -1.10501477 17.399597 -63.312683
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10499324--1.10501477) × R
    2.15299999999363e-05 × 6371000     		dl = 137.167629999594m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10499324--1.10501477) × R
    2.15299999999363e-05 × 6371000     		dr = 137.167629999594m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.30363232-0.30368026) × cos(-1.10499324) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.449140473060032 × 6371000     		do = 137.17906134822m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.30363232-0.30368026) × cos(-1.10501477) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.449121236737269 × 6371000     		du = 137.173186080106m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10499324)-sin(-1.10501477))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.449140473060032-0.449121236737269)×R²
    abs(0.30368026-0.30363232)×1.92363227626835e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.92363227626835e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.92363227626835e-05×40589641000000     		ar = 18816.1237831459m²