Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71869 / 95550
↖ ↑ ↗
← S 63.310215°
E 17.394104°		 ← 137.16 m → S 63.310215°
E 17.396850°		 →
↑
137.17 m
↓
↑
137.17 m
↓
S 63.311449°
E 17.394104°		 ← 137.15 m →
18 813 m²		 S 63.311449°
E 17.396850°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71869 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95550 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.548320770263672 y=0.728992462158203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.548320770263672 × 217)
    floor (0.548320770263672 × 131072)
    floor (71869.5)     		tx = 71869
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.728992462158203 × 217)
    floor (0.728992462158203 × 131072)
    floor (95550.5)     		ty = 95550
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71869 / 95550 ti = "17/71869/95550"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71869/95550.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71869 ÷ 217
    71869 ÷ 131072     		x = 0.548316955566406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95550 ÷ 217
    95550 ÷ 131072     		y = 0.728988647460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.548316955566406 × 2 - 1) × π
    0.0966339111328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.30358439
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.728988647460938 × 2 - 1) × π
    -0.457977294921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.43877810519637
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.30358439} λ = 0.30358439}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.43877810519637))-π/2
    2×atan(0.237217436421113)-π/2
    2×0.232912307413687-π/2
    0.465824614827373-1.57079632675     		φ = -1.10497171
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.30358439} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 17.394104°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10497171 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.310215°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71869 KachelY 95550 0.30358439 -1.10497171 17.394104 -63.310215
    Oben rechts KachelX + 1 71870 KachelY 95550 0.30363232 -1.10497171 17.396850 -63.310215
    Unten links KachelX 71869 KachelY + 1 95551 0.30358439 -1.10499324 17.394104 -63.311449
    Unten rechts KachelX + 1 71870 KachelY + 1 95551 0.30363232 -1.10499324 17.396850 -63.311449
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10497171--1.10499324) × R
    2.15299999999363e-05 × 6371000     		dl = 137.167629999594m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10497171--1.10499324) × R
    2.15299999999363e-05 × 6371000     		dr = 137.167629999594m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.30358439-0.30363232) × cos(-1.10497171) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.449159709174599 × 6371000     		do = 137.156320587849m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.30358439-0.30363232) × cos(-1.10499324) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.449140473060032 × 6371000     		du = 137.150446608855m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10497171)-sin(-1.10499324))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.449159709174599-0.449140473060032)×R²
    abs(0.30363232-0.30358439)×1.92361145677222e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.92361145677222e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.92361145677222e-05×40589641000000     		ar = 18813.0045754181m²