Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71869 / 95466
↖ ↑ ↗
← S 63.206402°
E 17.394104°		 ← 137.65 m → S 63.206402°
E 17.396850°		 →
↑
137.68 m
↓
↑
137.68 m
↓
S 63.207640°
E 17.394104°		 ← 137.64 m →
18 951 m²		 S 63.207640°
E 17.396850°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71869 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95466 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.548320770263672 y=0.728351593017578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.548320770263672 × 217)
    floor (0.548320770263672 × 131072)
    floor (71869.5)     		tx = 71869
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.728351593017578 × 217)
    floor (0.728351593017578 × 131072)
    floor (95466.5)     		ty = 95466
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71869 / 95466 ti = "17/71869/95466"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71869/95466.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71869 ÷ 217
    71869 ÷ 131072     		x = 0.548316955566406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95466 ÷ 217
    95466 ÷ 131072     		y = 0.728347778320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.548316955566406 × 2 - 1) × π
    0.0966339111328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.30358439
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.728347778320312 × 2 - 1) × π
    -0.456695556640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.43475140562828
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.30358439} λ = 0.30358439}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.43475140562828))-π/2
    2×atan(0.238174565512276)-π/2
    2×0.233818251181259-π/2
    0.467636502362519-1.57079632675     		φ = -1.10315982
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.30358439} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 17.394104°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10315982 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.206402°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71869 KachelY 95466 0.30358439 -1.10315982 17.394104 -63.206402
    Oben rechts KachelX + 1 71870 KachelY 95466 0.30363232 -1.10315982 17.396850 -63.206402
    Unten links KachelX 71869 KachelY + 1 95467 0.30358439 -1.10318143 17.394104 -63.207640
    Unten rechts KachelX + 1 71870 KachelY + 1 95467 0.30363232 -1.10318143 17.396850 -63.207640
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10315982--1.10318143) × R
    2.16100000001163e-05 × 6371000     		dl = 137.677310000741m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10315982--1.10318143) × R
    2.16100000001163e-05 × 6371000     		dr = 137.677310000741m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.30358439-0.30363232) × cos(-1.10315982) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.450777806816405 × 6371000     		do = 137.65042616849m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.30358439-0.30363232) × cos(-1.10318143) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.450758516843072 × 6371000     		du = 137.644535743074m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10315982)-sin(-1.10318143))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.450777806816405-0.450758516843072)×R²
    abs(0.30363232-0.30358439)×1.92899733336693e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.92899733336693e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.92899733336693e-05×40589641000000     		ar = 18950.9349070331m²