Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71868 / 95468
↖ ↑ ↗
← S 63.208878°
E 17.391358°		 ← 137.67 m → S 63.208878°
E 17.394104°		 →
↑
137.68 m
↓
↑
137.68 m
↓
S 63.210116°
E 17.391358°		 ← 137.66 m →
18 953 m²		 S 63.210116°
E 17.394104°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71868 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95468 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.548313140869141 y=0.728366851806641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.548313140869141 × 217)
    floor (0.548313140869141 × 131072)
    floor (71868.5)     		tx = 71868
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.728366851806641 × 217)
    floor (0.728366851806641 × 131072)
    floor (95468.5)     		ty = 95468
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71868 / 95468 ti = "17/71868/95468"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71868/95468.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71868 ÷ 217
    71868 ÷ 131072     		x = 0.548309326171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95468 ÷ 217
    95468 ÷ 131072     		y = 0.728363037109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.548309326171875 × 2 - 1) × π
    0.09661865234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.30353645
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.728363037109375 × 2 - 1) × π
    -0.45672607421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.43484727942752
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.30353645} λ = 0.30353645}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.43484727942752))-π/2
    2×atan(0.238151731906387)-π/2
    2×0.233796643215602-π/2
    0.467593286431204-1.57079632675     		φ = -1.10320304
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.30353645} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 17.391358°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10320304 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.208878°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71868 KachelY 95468 0.30353645 -1.10320304 17.391358 -63.208878
    Oben rechts KachelX + 1 71869 KachelY 95468 0.30358439 -1.10320304 17.394104 -63.208878
    Unten links KachelX 71868 KachelY + 1 95469 0.30353645 -1.10322465 17.391358 -63.210116
    Unten rechts KachelX + 1 71869 KachelY + 1 95469 0.30358439 -1.10322465 17.394104 -63.210116
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10320304--1.10322465) × R
    2.16100000001163e-05 × 6371000     		dl = 137.677310000741m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10320304--1.10322465) × R
    2.16100000001163e-05 × 6371000     		dr = 137.677310000741m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.30353645-0.30358439) × cos(-1.10320304) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.450739226659237 × 6371000     		do = 137.667361849335m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.30353645-0.30358439) × cos(-1.10322465) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.450719936264911 × 6371000     		du = 137.661470066373m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10320304)-sin(-1.10322465))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.450739226659237-0.450719936264911)×R²
    abs(0.30358439-0.30353645)×1.92903943260214e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.92903943260214e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.92903943260214e-05×40589641000000     		ar = 18953.266472754m²