Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71867 / 95547
↖ ↑ ↗
← S 63.306514°
E 17.388611°		 ← 137.20 m → S 63.306514°
E 17.391358°		 →
↑
137.23 m
↓
↑
137.23 m
↓
S 63.307748°
E 17.388611°		 ← 137.20 m →
18 828 m²		 S 63.307748°
E 17.391358°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71867 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95547 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.548305511474609 y=0.728969573974609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.548305511474609 × 217)
    floor (0.548305511474609 × 131072)
    floor (71867.5)     		tx = 71867
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.728969573974609 × 217)
    floor (0.728969573974609 × 131072)
    floor (95547.5)     		ty = 95547
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71867 / 95547 ti = "17/71867/95547"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71867/95547.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71867 ÷ 217
    71867 ÷ 131072     		x = 0.548301696777344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95547 ÷ 217
    95547 ÷ 131072     		y = 0.728965759277344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.548301696777344 × 2 - 1) × π
    0.0966033935546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.30348851
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.728965759277344 × 2 - 1) × π
    -0.457931518554688 × 3.1415926535     		Φ = -1.43863429449751
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.30348851} λ = 0.30348851}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.43863429449751))-π/2
    2×atan(0.237251553279552)-π/2
    2×0.23294460647435-π/2
    0.465889212948701-1.57079632675     		φ = -1.10490711
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.30348851} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 17.388611°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10490711 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.306514°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71867 KachelY 95547 0.30348851 -1.10490711 17.388611 -63.306514
    Oben rechts KachelX + 1 71868 KachelY 95547 0.30353645 -1.10490711 17.391358 -63.306514
    Unten links KachelX 71867 KachelY + 1 95548 0.30348851 -1.10492865 17.388611 -63.307748
    Unten rechts KachelX + 1 71868 KachelY + 1 95548 0.30353645 -1.10492865 17.391358 -63.307748
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10490711--1.10492865) × R
    2.15399999998755e-05 × 6371000     		dl = 137.231339999207m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10490711--1.10492865) × R
    2.15399999998755e-05 × 6371000     		dr = 137.231339999207m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.30348851-0.30353645) × cos(-1.10490711) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.449217425203268 × 6371000     		do = 137.202564513672m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.30348851-0.30353645) × cos(-1.10492865) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.449198180779114 × 6371000     		du = 137.196686771184m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10490711)-sin(-1.10492865))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.449217425203268-0.449198180779114)×R²
    abs(0.30353645-0.30348851)×1.9244424153908e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.9244424153908e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.9244424153908e-05×40589641000000     		ar = 18828.0884751553m²