Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71866 / 95470
↖ ↑ ↗
← S 63.211354°
E 17.385864°		 ← 137.66 m → S 63.211354°
E 17.388611°		 →
↑
137.68 m
↓
↑
137.68 m
↓
S 63.212592°
E 17.385864°		 ← 137.65 m →
18 952 m²		 S 63.212592°
E 17.388611°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71866 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95470 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.548297882080078 y=0.728382110595703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.548297882080078 × 217)
    floor (0.548297882080078 × 131072)
    floor (71866.5)     		tx = 71866
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.728382110595703 × 217)
    floor (0.728382110595703 × 131072)
    floor (95470.5)     		ty = 95470
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71866 / 95470 ti = "17/71866/95470"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71866/95470.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71866 ÷ 217
    71866 ÷ 131072     		x = 0.548294067382812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95470 ÷ 217
    95470 ÷ 131072     		y = 0.728378295898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.548294067382812 × 2 - 1) × π
    0.096588134765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.30344057
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.728378295898438 × 2 - 1) × π
    -0.456756591796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.43494315322676
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.30344057} λ = 0.30344057}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.43494315322676))-π/2
    2×atan(0.238128900489539)-π/2
    2×0.233775037099125-π/2
    0.46755007419825-1.57079632675     		φ = -1.10324625
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.30344057} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 17.385864°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10324625 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.211354°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71866 KachelY 95470 0.30344057 -1.10324625 17.385864 -63.211354
    Oben rechts KachelX + 1 71867 KachelY 95470 0.30348851 -1.10324625 17.388611 -63.211354
    Unten links KachelX 71866 KachelY + 1 95471 0.30344057 -1.10326786 17.385864 -63.212592
    Unten rechts KachelX + 1 71867 KachelY + 1 95471 0.30348851 -1.10326786 17.388611 -63.212592
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10324625--1.10326786) × R
    2.16100000001163e-05 × 6371000     		dl = 137.677310000741m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10324625--1.10326786) × R
    2.16100000001163e-05 × 6371000     		dr = 137.677310000741m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.30344057-0.30348851) × cos(-1.10324625) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.450700654586854 × 6371000     		do = 137.655580945584m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.30344057-0.30348851) × cos(-1.10326786) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.45068136377167 × 6371000     		du = 137.649689034081m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10324625)-sin(-1.10326786))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.450700654586854-0.45068136377167)×R²
    abs(0.30348851-0.30344057)×1.92908151849247e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.92908151849247e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.92908151849247e-05×40589641000000     		ar = 18951.6445005952m²