Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 71865 / 95465
↖ ↑ ↗
← S 63.205164°
E 17.383118°		 ← 137.66 m → S 63.205164°
E 17.385864°		 →
↑
137.61 m
↓
↑
137.61 m
↓
S 63.206402°
E 17.383118°		 ← 137.65 m →
18 943 m²		 S 63.206402°
E 17.385864°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71865 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95465 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.548290252685547 y=0.728343963623047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.548290252685547 × 217)
    floor (0.548290252685547 × 131072)
    floor (71865.5)     		tx = 71865
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.728343963623047 × 217)
    floor (0.728343963623047 × 131072)
    floor (95465.5)     		ty = 95465
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71865 / 95465 ti = "17/71865/95465"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71865/95465.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71865 ÷ 217
    71865 ÷ 131072     		x = 0.548286437988281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95465 ÷ 217
    95465 ÷ 131072     		y = 0.728340148925781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.548286437988281 × 2 - 1) × π
    0.0965728759765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.30339264
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.728340148925781 × 2 - 1) × π
    -0.456680297851562 × 3.1415926535     		Φ = -1.43470346872866
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.30339264} λ = 0.30339264}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.43470346872866))-π/2
    2×atan(0.238185983136175)-π/2
    2×0.233829055857567-π/2
    0.467658111715135-1.57079632675     		φ = -1.10313822
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.30339264} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 17.383118°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10313822 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.205164°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71865 KachelY 95465 0.30339264 -1.10313822 17.383118 -63.205164
    Oben rechts KachelX + 1 71866 KachelY 95465 0.30344057 -1.10313822 17.385864 -63.205164
    Unten links KachelX 71865 KachelY + 1 95466 0.30339264 -1.10315982 17.383118 -63.206402
    Unten rechts KachelX + 1 71866 KachelY + 1 95466 0.30344057 -1.10315982 17.385864 -63.206402
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10313822--1.10315982) × R
    2.1599999999955e-05 × 6371000     		dl = 137.613599999713m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10313822--1.10315982) × R
    2.1599999999955e-05 × 6371000     		dr = 137.613599999713m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.30339264-0.30344057) × cos(-1.10313822) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.450797087652965 × 6371000     		do = 137.656313803881m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.30339264-0.30344057) × cos(-1.10315982) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.450777806816405 × 6371000     		du = 137.65042616849m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10313822)-sin(-1.10315982))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.450797087652965-0.450777806816405)×R²
    abs(0.30344057-0.30339264)×1.92808365593322e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.92808365593322e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.92808365593322e-05×40589641000000     		ar = 18942.9757966603m²