Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71863 / 95464
↖ ↑ ↗
← S 63.203925°
E 17.377624°		 ← 137.69 m → S 63.203925°
E 17.380371°		 →
↑
137.74 m
↓
↑
137.74 m
↓
S 63.205164°
E 17.377624°		 ← 137.69 m →
18 965 m²		 S 63.205164°
E 17.380371°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71863 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95464 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.548274993896484 y=0.728336334228516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.548274993896484 × 217)
    floor (0.548274993896484 × 131072)
    floor (71863.5)     		tx = 71863
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.728336334228516 × 217)
    floor (0.728336334228516 × 131072)
    floor (95464.5)     		ty = 95464
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71863 / 95464 ti = "17/71863/95464"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71863/95464.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71863 ÷ 217
    71863 ÷ 131072     		x = 0.548271179199219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95464 ÷ 217
    95464 ÷ 131072     		y = 0.72833251953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.548271179199219 × 2 - 1) × π
    0.0965423583984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.30329676
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.72833251953125 × 2 - 1) × π
    -0.4566650390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.43465553182904
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.30329676} λ = 0.30329676}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.43465553182904))-π/2
    2×atan(0.238197401307413)-π/2
    2×0.233839860996215-π/2
    0.467679721992429-1.57079632675     		φ = -1.10311660
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.30329676} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 17.377624°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10311660 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.203925°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71863 KachelY 95464 0.30329676 -1.10311660 17.377624 -63.203925
    Oben rechts KachelX + 1 71864 KachelY 95464 0.30334470 -1.10311660 17.380371 -63.203925
    Unten links KachelX 71863 KachelY + 1 95465 0.30329676 -1.10313822 17.377624 -63.205164
    Unten rechts KachelX + 1 71864 KachelY + 1 95465 0.30334470 -1.10313822 17.380371 -63.205164
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10311660--1.10313822) × R
    2.16200000000555e-05 × 6371000     		dl = 137.741020000354m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10311660--1.10313822) × R
    2.16200000000555e-05 × 6371000     		dr = 137.741020000354m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.30329676-0.30334470) × cos(-1.10311660) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.450816386131534 × 6371000     		do = 137.690928338419m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.30329676-0.30334470) × cos(-1.10313822) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.450797087652965 × 6371000     		du = 137.685034086321m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10311660)-sin(-1.10313822))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.450816386131534-0.450797087652965)×R²
    abs(0.30334470-0.30329676)×1.92984785697958e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.92984785697958e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.92984785697958e-05×40589641000000     		ar = 18965.2829746322m²