Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71862 / 95750
↖ ↑ ↗
← S 63.555892°
E 17.374878°		 ← 135.99 m → S 63.555892°
E 17.377624°		 →
↑
136.02 m
↓
↑
136.02 m
↓
S 63.557115°
E 17.374878°		 ← 135.98 m →
18 496 m²		 S 63.557115°
E 17.377624°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71862 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95750 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.548267364501953 y=0.730518341064453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.548267364501953 × 217)
    floor (0.548267364501953 × 131072)
    floor (71862.5)     		tx = 71862
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.730518341064453 × 217)
    floor (0.730518341064453 × 131072)
    floor (95750.5)     		ty = 95750
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71862 / 95750 ti = "17/71862/95750"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71862/95750.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71862 ÷ 217
    71862 ÷ 131072     		x = 0.548263549804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95750 ÷ 217
    95750 ÷ 131072     		y = 0.730514526367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.548263549804688 × 2 - 1) × π
    0.096527099609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.30324883
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.730514526367188 × 2 - 1) × π
    -0.461029052734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.44836548512038
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.30324883} λ = 0.30324883}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44836548512038))-π/2
    2×atan(0.234954010234348)-π/2
    2×0.230768377056316-π/2
    0.461536754112632-1.57079632675     		φ = -1.10925957
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.30324883} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 17.374878°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10925957 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.555892°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71862 KachelY 95750 0.30324883 -1.10925957 17.374878 -63.555892
    Oben rechts KachelX + 1 71863 KachelY 95750 0.30329676 -1.10925957 17.377624 -63.555892
    Unten links KachelX 71862 KachelY + 1 95751 0.30324883 -1.10928092 17.374878 -63.557115
    Unten rechts KachelX + 1 71863 KachelY + 1 95751 0.30329676 -1.10928092 17.377624 -63.557115
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10925957--1.10928092) × R
    2.134999999992e-05 × 6371000     		dl = 136.020849999491m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10925957--1.10928092) × R
    2.134999999992e-05 × 6371000     		dr = 136.020849999491m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.30324883-0.30329676) × cos(-1.10925957) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.445324596969096 × 6371000     		do = 135.985222939341m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.30324883-0.30329676) × cos(-1.10928092) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.445305480735195 × 6371000     		du = 135.979385567351m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10925957)-sin(-1.10928092))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.445324596969096-0.445305480735195)×R²
    abs(0.30329676-0.30324883)×1.91162339013284e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.91162339013284e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.91162339013284e-05×40589641000000     		ar = 18496.4286099998m²