Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 71861 / 95462
↖ ↑ ↗
← S 63.201449°
E 17.372131°		 ← 137.70 m → S 63.201449°
E 17.374878°		 →
↑
137.68 m
↓
↑
137.68 m
↓
S 63.202687°
E 17.372131°		 ← 137.70 m →
18 958 m²		 S 63.202687°
E 17.374878°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71861 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95462 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.548259735107422 y=0.728321075439453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.548259735107422 × 217)
    floor (0.548259735107422 × 131072)
    floor (71861.5)     		tx = 71861
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.728321075439453 × 217)
    floor (0.728321075439453 × 131072)
    floor (95462.5)     		ty = 95462
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71861 / 95462 ti = "17/71861/95462"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71861/95462.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71861 ÷ 217
    71861 ÷ 131072     		x = 0.548255920410156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95462 ÷ 217
    95462 ÷ 131072     		y = 0.728317260742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.548255920410156 × 2 - 1) × π
    0.0965118408203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.30320089
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.728317260742188 × 2 - 1) × π
    -0.456634521484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.4345596580298
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.30320089} λ = 0.30320089}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.4345596580298))-π/2
    2×atan(0.238220239292011)-π/2
    2×0.233861472660586-π/2
    0.467722945321172-1.57079632675     		φ = -1.10307338
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.30320089} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 17.372131°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10307338 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.201449°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71861 KachelY 95462 0.30320089 -1.10307338 17.372131 -63.201449
    Oben rechts KachelX + 1 71862 KachelY 95462 0.30324883 -1.10307338 17.374878 -63.201449
    Unten links KachelX 71861 KachelY + 1 95463 0.30320089 -1.10309499 17.372131 -63.202687
    Unten rechts KachelX + 1 71862 KachelY + 1 95463 0.30324883 -1.10309499 17.374878 -63.202687
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10307338--1.10309499) × R
    2.16099999998942e-05 × 6371000     		dl = 137.677309999326m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10307338--1.10309499) × R
    2.16099999998942e-05 × 6371000     		dr = 137.677309999326m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.30320089-0.30324883) × cos(-1.10307338) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.450854964604553 × 6371000     		do = 137.702711197088m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.30320089-0.30324883) × cos(-1.10309499) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.450835675473312 × 6371000     		du = 137.696819799905m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10307338)-sin(-1.10309499))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.450854964604553-0.450835675473312)×R²
    abs(0.30324883-0.30320089)×1.92891312407184e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.92891312407184e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.92891312407184e-05×40589641000000     		ar = 18958.1333022152m²