Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71860 / 95491
↖ ↑ ↗
← S 63.237338°
E 17.369385°		 ← 137.53 m → S 63.237338°
E 17.372131°		 →
↑
137.49 m
↓
↑
137.49 m
↓
S 63.238575°
E 17.369385°		 ← 137.53 m →
18 908 m²		 S 63.238575°
E 17.372131°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71860 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95491 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.548252105712891 y=0.728542327880859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.548252105712891 × 217)
    floor (0.548252105712891 × 131072)
    floor (71860.5)     		tx = 71860
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.728542327880859 × 217)
    floor (0.728542327880859 × 131072)
    floor (95491.5)     		ty = 95491
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71860 / 95491 ti = "17/71860/95491"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71860/95491.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71860 ÷ 217
    71860 ÷ 131072     		x = 0.548248291015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95491 ÷ 217
    95491 ÷ 131072     		y = 0.728538513183594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.548248291015625 × 2 - 1) × π
    0.09649658203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.30315295
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.728538513183594 × 2 - 1) × π
    -0.457077026367188 × 3.1415926535     		Φ = -1.43594982811878
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.30315295} λ = 0.30315295}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.43594982811878))-π/2
    2×atan(0.237889302723113)-π/2
    2×0.233548284490697-π/2
    0.467096568981394-1.57079632675     		φ = -1.10369976
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.30315295} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 17.369385°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10369976 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.237338°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71860 KachelY 95491 0.30315295 -1.10369976 17.369385 -63.237338
    Oben rechts KachelX + 1 71861 KachelY 95491 0.30320089 -1.10369976 17.372131 -63.237338
    Unten links KachelX 71860 KachelY + 1 95492 0.30315295 -1.10372134 17.369385 -63.238575
    Unten rechts KachelX + 1 71861 KachelY + 1 95492 0.30320089 -1.10372134 17.372131 -63.238575
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10369976--1.10372134) × R
    2.15800000000765e-05 × 6371000     		dl = 137.486180000488m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10369976--1.10372134) × R
    2.15800000000765e-05 × 6371000     		dr = 137.486180000488m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.30315295-0.30320089) × cos(-1.10369976) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.450295771146239 × 6371000     		do = 137.53191912128m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.30315295-0.30320089) × cos(-1.10372134) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.450276502702783 × 6371000     		du = 137.526034042679m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10369976)-sin(-1.10372134))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.450295771146239-0.450276502702783)×R²
    abs(0.30320089-0.30315295)×1.92684434557333e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.92684434557333e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.92684434557333e-05×40589641000000     		ar = 18908.3336303268m²