Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7186 / 10897
↖ ↑ ↗
← S 50.972265°
W 22.104492°		 ← 1 538.52 m → S 50.972265°
W 22.082519°		 →
↑
1 538.28 m
↓
↑
1 538.28 m
↓
S 50.986099°
W 22.104492°		 ← 1 538.07 m →
2 366 325 m²		 S 50.986099°
W 22.082519°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7186 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10897 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438629150390625 y=0.665130615234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438629150390625 × 214)
    floor (0.438629150390625 × 16384)
    floor (7186.5)     		tx = 7186
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.665130615234375 × 214)
    floor (0.665130615234375 × 16384)
    floor (10897.5)     		ty = 10897
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7186 / 10897 ti = "14/7186/10897"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7186/10897.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7186 ÷ 214
    7186 ÷ 16384     		x = 0.4385986328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10897 ÷ 214
    10897 ÷ 16384     		y = 0.66510009765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4385986328125 × 2 - 1) × π
    -0.122802734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.38579617
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.66510009765625 × 2 - 1) × π
    -0.3302001953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.03735450777802
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38579617} λ = -0.38579617}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.03735450777802))-π/2
    2×atan(0.35439098151125)-π/2
    2×0.340581238647701-π/2
    0.681162477295401-1.57079632675     		φ = -0.88963385
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38579617} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.104492°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88963385 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.972265°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7186 KachelY 10897 -0.38579617 -0.88963385 -22.104492 -50.972265
    Oben rechts KachelX + 1 7187 KachelY 10897 -0.38541267 -0.88963385 -22.082519 -50.972265
    Unten links KachelX 7186 KachelY + 1 10898 -0.38579617 -0.88987530 -22.104492 -50.986099
    Unten rechts KachelX + 1 7187 KachelY + 1 10898 -0.38541267 -0.88987530 -22.082519 -50.986099
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88963385--0.88987530) × R
    0.000241450000000087 × 6371000     		dl = 1538.27795000056m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88963385--0.88987530) × R
    0.000241450000000087 × 6371000     		dr = 1538.27795000056m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38579617--0.38541267) × cos(-0.88963385) × R
    0.000383499999999981 × 0.629696509196376 × 6371000     		do = 1538.52394244448m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38579617--0.38541267) × cos(-0.88987530) × R
    0.000383499999999981 × 0.629508922526655 × 6371000     		du = 1538.06561596747m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88963385)-sin(-0.88987530))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.629696509196376-0.629508922526655)×R²
    abs(-0.38541267--0.38579617)×0.000187586669720852×R²
    0.000383499999999981×0.000187586669720852×6371000²
    0.000383499999999981×0.000187586669720852×40589641000000     		ar = 2366324.95094898m²