Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7186 / 10714
↖ ↑ ↗
← S 48.370847°
W 22.104492°		 ← 1 623.09 m → S 48.370847°
W 22.082519°		 →
↑
1 622.88 m
↓
↑
1 622.88 m
↓
S 48.385442°
W 22.104492°		 ← 1 622.62 m →
2 633 704 m²		 S 48.385442°
W 22.082519°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7186 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10714 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438629150390625 y=0.653961181640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438629150390625 × 214)
    floor (0.438629150390625 × 16384)
    floor (7186.5)     		tx = 7186
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.653961181640625 × 214)
    floor (0.653961181640625 × 16384)
    floor (10714.5)     		ty = 10714
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7186 / 10714 ti = "14/7186/10714"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7186/10714.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7186 ÷ 214
    7186 ÷ 16384     		x = 0.4385986328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10714 ÷ 214
    10714 ÷ 16384     		y = 0.6539306640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4385986328125 × 2 - 1) × π
    -0.122802734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.38579617
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6539306640625 × 2 - 1) × π
    -0.307861328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.967174886734253
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38579617} λ = -0.38579617}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.967174886734253))-π/2
    2×atan(0.380155504829849)-π/2
    2×0.363282886212966-π/2
    0.726565772425932-1.57079632675     		φ = -0.84423055
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38579617} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.104492°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84423055 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.370847°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7186 KachelY 10714 -0.38579617 -0.84423055 -22.104492 -48.370847
    Oben rechts KachelX + 1 7187 KachelY 10714 -0.38541267 -0.84423055 -22.082519 -48.370847
    Unten links KachelX 7186 KachelY + 1 10715 -0.38579617 -0.84448528 -22.104492 -48.385442
    Unten rechts KachelX + 1 7187 KachelY + 1 10715 -0.38541267 -0.84448528 -22.082519 -48.385442
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84423055--0.84448528) × R
    0.000254729999999981 × 6371000     		dl = 1622.88482999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84423055--0.84448528) × R
    0.000254729999999981 × 6371000     		dr = 1622.88482999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38579617--0.38541267) × cos(-0.84423055) × R
    0.000383499999999981 × 0.664306612320225 × 6371000     		do = 1623.08606328976m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38579617--0.38541267) × cos(-0.84448528) × R
    0.000383499999999981 × 0.664116190237372 × 6371000     		du = 1622.6208091088m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84423055)-sin(-0.84448528))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.664306612320225-0.664116190237372)×R²
    abs(-0.38541267--0.38579617)×0.000190422082853359×R²
    0.000383499999999981×0.000190422082853359×6371000²
    0.000383499999999981×0.000190422082853359×40589641000000     		ar = 2633704.2371619m²