Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7185 / 5505
↖ ↑ ↗
← N 50.722547°
W 22.126465°		 ← 1 546.74 m → N 50.722547°
W 22.104492°		 →
↑
1 547.01 m
↓
↑
1 547.01 m
↓
N 50.708634°
W 22.126465°		 ← 1 547.20 m →
2 393 174 m²		 N 50.708634°
W 22.104492°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7185 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5505 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438568115234375 y=0.336029052734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438568115234375 × 214)
    floor (0.438568115234375 × 16384)
    floor (7185.5)     		tx = 7185
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.336029052734375 × 214)
    floor (0.336029052734375 × 16384)
    floor (5505.5)     		ty = 5505
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7185 / 5505 ti = "14/7185/5505"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7185/5505.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7185 ÷ 214
    7185 ÷ 16384     		x = 0.43853759765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5505 ÷ 214
    5505 ÷ 16384     		y = 0.33599853515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43853759765625 × 2 - 1) × π
    -0.1229248046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.38617966
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33599853515625 × 2 - 1) × π
    0.3280029296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.03045159423273
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38617966} λ = -0.38617966}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03045159423273))-π/2
    2×atan(2.80233106553949)-π/2
    2×1.22803588701008-π/2
    2.45607177402016-1.57079632675     		φ = 0.88527545
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38617966} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.126465°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88527545 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.722547°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7185 KachelY 5505 -0.38617966 0.88527545 -22.126465 50.722547
    Oben rechts KachelX + 1 7186 KachelY 5505 -0.38579617 0.88527545 -22.104492 50.722547
    Unten links KachelX 7185 KachelY + 1 5506 -0.38617966 0.88503263 -22.126465 50.708634
    Unten rechts KachelX + 1 7186 KachelY + 1 5506 -0.38579617 0.88503263 -22.104492 50.708634
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88527545-0.88503263) × R
    0.000242819999999977 × 6371000     		dl = 1547.00621999985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88527545-0.88503263) × R
    0.000242819999999977 × 6371000     		dr = 1547.00621999985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38617966--0.38579617) × cos(0.88527545) × R
    0.000383489999999986 × 0.633076302583213 × 6371000     		do = 1546.74138566977m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38617966--0.38579617) × cos(0.88503263) × R
    0.000383489999999986 × 0.633264248305253 × 6371000     		du = 1547.20057743757m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88527545)-sin(0.88503263))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.633076302583213-0.633264248305253)×R²
    abs(-0.38579617--0.38617966)×0.000187945722039506×R²
    0.000383489999999986×0.000187945722039506×6371000²
    0.000383489999999986×0.000187945722039506×40589641000000     		ar = 2393173.74238016m²