Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 7185 / 5131
↖ ↑ ↗
← N 76.813276°
W101.063233°		 ← 278.69 m → N 76.813276°
W101.052246°		 →
↑
278.67 m
↓
↑
278.67 m
↓
N 76.810770°
W101.063233°		 ← 278.74 m →
77 668 m²		 N 76.810770°
W101.052246°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7185 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5131 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.219284057617188 y=0.156600952148438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.219284057617188 × 215)
    floor (0.219284057617188 × 32768)
    floor (7185.5)     		tx = 7185
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.156600952148438 × 215)
    floor (0.156600952148438 × 32768)
    floor (5131.5)     		ty = 5131
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 7185 / 5131 ti = "15/7185/5131"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/7185/5131.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7185 ÷ 215
    7185 ÷ 32768     		x = 0.219268798828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5131 ÷ 215
    5131 ÷ 32768     		y = 0.156585693359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.219268798828125 × 2 - 1) × π
    -0.56146240234375 × 3.1415926535     		Λ = -1.76388616
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.156585693359375 × 2 - 1) × π
    0.68682861328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.15773572569797
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.76388616} λ = -1.76388616}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.15773572569797))-π/2
    2×atan(8.65152603571967)-π/2
    2×1.45572044983014-π/2
    2.91144089966028-1.57079632675     		φ = 1.34064457
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.76388616} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -101.063233°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34064457 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.813276°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7185 KachelY 5131 -1.76388616 1.34064457 -101.063233 76.813276
    Oben rechts KachelX + 1 7186 KachelY 5131 -1.76369441 1.34064457 -101.052246 76.813276
    Unten links KachelX 7185 KachelY + 1 5132 -1.76388616 1.34060083 -101.063233 76.810770
    Unten rechts KachelX + 1 7186 KachelY + 1 5132 -1.76369441 1.34060083 -101.052246 76.810770
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34064457-1.34060083) × R
    4.37399999999588e-05 × 6371000     		dl = 278.667539999738m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34064457-1.34060083) × R
    4.37399999999588e-05 × 6371000     		dr = 278.667539999738m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.76388616--1.76369441) × cos(1.34064457) × R
    0.000191749999999935 × 0.22812528140085 × 6371000     		do = 278.686797676479m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.76388616--1.76369441) × cos(1.34060083) × R
    0.000191749999999935 × 0.228167867836962 × 6371000     		du = 278.738822938351m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34064457)-sin(1.34060083))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.22812528140085-0.228167867836962)×R²
    abs(-1.76369441--1.76388616)×4.25864361114636e-05×R²
    0.000191749999999935×4.25864361114636e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.25864361114636e-05×40589641000000     		ar = 77668.213227044m²