Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71849 / 95751
↖ ↑ ↗
← S 63.557115°
E 17.339173°		 ← 135.98 m → S 63.557115°
E 17.341919°		 →
↑
136.02 m
↓
↑
136.02 m
↓
S 63.558338°
E 17.339173°		 ← 135.97 m →
18 496 m²		 S 63.558338°
E 17.341919°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71849 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95751 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.548168182373047 y=0.730525970458984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.548168182373047 × 217)
    floor (0.548168182373047 × 131072)
    floor (71849.5)     		tx = 71849
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.730525970458984 × 217)
    floor (0.730525970458984 × 131072)
    floor (95751.5)     		ty = 95751
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71849 / 95751 ti = "17/71849/95751"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71849/95751.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71849 ÷ 217
    71849 ÷ 131072     		x = 0.548164367675781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95751 ÷ 217
    95751 ÷ 131072     		y = 0.730522155761719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.548164367675781 × 2 - 1) × π
    0.0963287353515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.30262565
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.730522155761719 × 2 - 1) × π
    -0.461044311523438 × 3.1415926535     		Φ = -1.44841342202
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.30262565} λ = 0.30262565}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44841342202))-π/2
    2×atan(0.234942747537496)-π/2
    2×0.230757703545184-π/2
    0.461515407090369-1.57079632675     		φ = -1.10928092
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.30262565} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 17.339173°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10928092 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.557115°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71849 KachelY 95751 0.30262565 -1.10928092 17.339173 -63.557115
    Oben rechts KachelX + 1 71850 KachelY 95751 0.30267358 -1.10928092 17.341919 -63.557115
    Unten links KachelX 71849 KachelY + 1 95752 0.30262565 -1.10930227 17.339173 -63.558338
    Unten rechts KachelX + 1 71850 KachelY + 1 95752 0.30267358 -1.10930227 17.341919 -63.558338
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10928092--1.10930227) × R
    2.134999999992e-05 × 6371000     		dl = 136.020849999491m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10928092--1.10930227) × R
    2.134999999992e-05 × 6371000     		dr = 136.020849999491m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.30262565-0.30267358) × cos(-1.10928092) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.445305480735195 × 6371000     		do = 135.979385567351m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.30262565-0.30267358) × cos(-1.10930227) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.445286364298313 × 6371000     		du = 135.973548133378m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10928092)-sin(-1.10930227))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.445305480735195-0.445286364298313)×R²
    abs(0.30267358-0.30262565)×1.91164368815722e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.91164368815722e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.91164368815722e-05×40589641000000     		ar = 18495.634601723m²