Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71848 / 95778
↖ ↑ ↗
← S 63.590119°
E 17.336426°		 ← 135.85 m → S 63.590119°
E 17.339173°		 →
↑
135.83 m
↓
↑
135.83 m
↓
S 63.591340°
E 17.336426°		 ← 135.84 m →
18 452 m²		 S 63.591340°
E 17.339173°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71848 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95778 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.548160552978516 y=0.730731964111328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.548160552978516 × 217)
    floor (0.548160552978516 × 131072)
    floor (71848.5)     		tx = 71848
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.730731964111328 × 217)
    floor (0.730731964111328 × 131072)
    floor (95778.5)     		ty = 95778
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71848 / 95778 ti = "17/71848/95778"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71848/95778.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71848 ÷ 217
    71848 ÷ 131072     		x = 0.54815673828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95778 ÷ 217
    95778 ÷ 131072     		y = 0.730728149414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.54815673828125 × 2 - 1) × π
    0.0963134765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.30257771
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.730728149414062 × 2 - 1) × π
    -0.461456298828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.44970771830974
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.30257771} λ = 0.30257771}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44970771830974))-π/2
    2×atan(0.234638858714567)-π/2
    2×0.230469691863687-π/2
    0.460939383727374-1.57079632675     		φ = -1.10985694
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.30257771} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 17.336426°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10985694 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.590119°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71848 KachelY 95778 0.30257771 -1.10985694 17.336426 -63.590119
    Oben rechts KachelX + 1 71849 KachelY 95778 0.30262565 -1.10985694 17.339173 -63.590119
    Unten links KachelX 71848 KachelY + 1 95779 0.30257771 -1.10987826 17.336426 -63.591340
    Unten rechts KachelX + 1 71849 KachelY + 1 95779 0.30262565 -1.10987826 17.339173 -63.591340
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10985694--1.10987826) × R
    2.13199999998803e-05 × 6371000     		dl = 135.829719999238m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10985694--1.10987826) × R
    2.13199999998803e-05 × 6371000     		dr = 135.829719999238m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.30257771-0.30262565) × cos(-1.10985694) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.444789650844985 × 6371000     		do = 135.85020825374m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.30257771-0.30262565) × cos(-1.10987826) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.444770555804351 × 6371000     		du = 135.844376136823m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10985694)-sin(-1.10987826))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.444789650844985-0.444770555804351)×R²
    abs(0.30262565-0.30257771)×1.90950406345203e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.90950406345203e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.90950406345203e-05×40589641000000     		ar = 18452.0996623256m²