Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71848 / 95753
↖ ↑ ↗
← S 63.559561°
E 17.336426°		 ← 136 m → S 63.559561°
E 17.339173°		 →
↑
136.02 m
↓
↑
136.02 m
↓
S 63.560784°
E 17.336426°		 ← 135.99 m →
18 498 m²		 S 63.560784°
E 17.339173°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71848 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95753 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.548160552978516 y=0.730541229248047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.548160552978516 × 217)
    floor (0.548160552978516 × 131072)
    floor (71848.5)     		tx = 71848
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.730541229248047 × 217)
    floor (0.730541229248047 × 131072)
    floor (95753.5)     		ty = 95753
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71848 / 95753 ti = "17/71848/95753"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71848/95753.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71848 ÷ 217
    71848 ÷ 131072     		x = 0.54815673828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95753 ÷ 217
    95753 ÷ 131072     		y = 0.730537414550781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.54815673828125 × 2 - 1) × π
    0.0963134765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.30257771
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.730537414550781 × 2 - 1) × π
    -0.461074829101562 × 3.1415926535     		Φ = -1.44850929581924
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.30257771} λ = 0.30257771}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44850929581924))-π/2
    2×atan(0.234920223763423)-π/2
    2×0.230736357897252-π/2
    0.461472715794504-1.57079632675     		φ = -1.10932361
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.30257771} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 17.336426°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10932361 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.559561°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71848 KachelY 95753 0.30257771 -1.10932361 17.336426 -63.559561
    Oben rechts KachelX + 1 71849 KachelY 95753 0.30262565 -1.10932361 17.339173 -63.559561
    Unten links KachelX 71848 KachelY + 1 95754 0.30257771 -1.10934496 17.336426 -63.560784
    Unten rechts KachelX + 1 71849 KachelY + 1 95754 0.30262565 -1.10934496 17.339173 -63.560784
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10932361--1.10934496) × R
    2.13500000001421e-05 × 6371000     		dl = 136.020850000905m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10932361--1.10934496) × R
    2.13500000001421e-05 × 6371000     		dr = 136.020850000905m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.30257771-0.30262565) × cos(-1.10932361) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.445267256612437 × 6371000     		do = 135.996081348692m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.30257771-0.30262565) × cos(-1.10934496) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.445248139769716 × 6371000     		du = 135.990242572857m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10932361)-sin(-1.10934496))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.445267256612437-0.445248139769716)×R²
    abs(0.30262565-0.30257771)×1.91168427211008e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.91168427211008e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.91168427211008e-05×40589641000000     		ar = 18497.9054849215m²