Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71847 / 95779
↖ ↑ ↗
← S 63.591340°
E 17.333679°		 ← 135.84 m → S 63.591340°
E 17.336426°		 →
↑
135.83 m
↓
↑
135.83 m
↓
S 63.592562°
E 17.333679°		 ← 135.84 m →
18 451 m²		 S 63.592562°
E 17.336426°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71847 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95779 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.548152923583984 y=0.730739593505859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.548152923583984 × 217)
    floor (0.548152923583984 × 131072)
    floor (71847.5)     		tx = 71847
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.730739593505859 × 217)
    floor (0.730739593505859 × 131072)
    floor (95779.5)     		ty = 95779
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71847 / 95779 ti = "17/71847/95779"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71847/95779.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71847 ÷ 217
    71847 ÷ 131072     		x = 0.548149108886719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95779 ÷ 217
    95779 ÷ 131072     		y = 0.730735778808594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.548149108886719 × 2 - 1) × π
    0.0962982177734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.30252977
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.730735778808594 × 2 - 1) × π
    -0.461471557617188 × 3.1415926535     		Φ = -1.44975565520936
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.30252977} λ = 0.30252977}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44975565520936))-π/2
    2×atan(0.23462761112474)-π/2
    2×0.230459031174186-π/2
    0.460918062348371-1.57079632675     		φ = -1.10987826
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.30252977} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 17.333679°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10987826 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.591340°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71847 KachelY 95779 0.30252977 -1.10987826 17.333679 -63.591340
    Oben rechts KachelX + 1 71848 KachelY 95779 0.30257771 -1.10987826 17.336426 -63.591340
    Unten links KachelX 71847 KachelY + 1 95780 0.30252977 -1.10989958 17.333679 -63.592562
    Unten rechts KachelX + 1 71848 KachelY + 1 95780 0.30257771 -1.10989958 17.336426 -63.592562
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10987826--1.10989958) × R
    2.13200000001024e-05 × 6371000     		dl = 135.829720000652m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10987826--1.10989958) × R
    2.13200000001024e-05 × 6371000     		dr = 135.829720000652m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.30252977-0.30257771) × cos(-1.10987826) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.444770555804351 × 6371000     		do = 135.844376136823m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.30252977-0.30257771) × cos(-1.10989958) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.444751460561549 × 6371000     		du = 135.83854395816m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10987826)-sin(-1.10989958))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.444770555804351-0.444751460561549)×R²
    abs(0.30257771-0.30252977)×1.90952428018587e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.90952428018587e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.90952428018587e-05×40589641000000     		ar = 18451.3074834691m²