Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71847 / 95463
↖ ↑ ↗
← S 63.202687°
E 17.333679°		 ← 137.70 m → S 63.202687°
E 17.336426°		 →
↑
137.68 m
↓
↑
137.68 m
↓
S 63.203925°
E 17.333679°		 ← 137.69 m →
18 957 m²		 S 63.203925°
E 17.336426°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71847 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95463 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.548152923583984 y=0.728328704833984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.548152923583984 × 217)
    floor (0.548152923583984 × 131072)
    floor (71847.5)     		tx = 71847
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.728328704833984 × 217)
    floor (0.728328704833984 × 131072)
    floor (95463.5)     		ty = 95463
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71847 / 95463 ti = "17/71847/95463"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71847/95463.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71847 ÷ 217
    71847 ÷ 131072     		x = 0.548149108886719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95463 ÷ 217
    95463 ÷ 131072     		y = 0.728324890136719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.548149108886719 × 2 - 1) × π
    0.0962982177734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.30252977
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.728324890136719 × 2 - 1) × π
    -0.456649780273438 × 3.1415926535     		Φ = -1.43460759492942
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.30252977} λ = 0.30252977}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.43460759492942))-π/2
    2×atan(0.238208820026016)-π/2
    2×0.233850666597216-π/2
    0.467701333194432-1.57079632675     		φ = -1.10309499
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.30252977} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 17.333679°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10309499 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.202687°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71847 KachelY 95463 0.30252977 -1.10309499 17.333679 -63.202687
    Oben rechts KachelX + 1 71848 KachelY 95463 0.30257771 -1.10309499 17.336426 -63.202687
    Unten links KachelX 71847 KachelY + 1 95464 0.30252977 -1.10311660 17.333679 -63.203925
    Unten rechts KachelX + 1 71848 KachelY + 1 95464 0.30257771 -1.10311660 17.336426 -63.203925
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10309499--1.10311660) × R
    2.16099999998942e-05 × 6371000     		dl = 137.677309999326m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10309499--1.10311660) × R
    2.16099999998942e-05 × 6371000     		dr = 137.677309999326m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.30252977-0.30257771) × cos(-1.10309499) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.450835675473312 × 6371000     		do = 137.696819799905m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.30252977-0.30257771) × cos(-1.10311660) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.450816386131534 × 6371000     		du = 137.690928338419m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10309499)-sin(-1.10311660))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.450835675473312-0.450816386131534)×R²
    abs(0.30257771-0.30252977)×1.92893417774176e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.92893417774176e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.92893417774176e-05×40589641000000     		ar = 18957.3221859748m²