Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71846 / 95615
↖ ↑ ↗
← S 63.390291°
E 17.330933°		 ← 136.77 m → S 63.390291°
E 17.333679°		 →
↑
136.79 m
↓
↑
136.79 m
↓
S 63.391522°
E 17.330933°		 ← 136.77 m →
18 708 m²		 S 63.391522°
E 17.333679°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71846 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95615 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.548145294189453 y=0.729488372802734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.548145294189453 × 217)
    floor (0.548145294189453 × 131072)
    floor (71846.5)     		tx = 71846
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.729488372802734 × 217)
    floor (0.729488372802734 × 131072)
    floor (95615.5)     		ty = 95615
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71846 / 95615 ti = "17/71846/95615"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71846/95615.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71846 ÷ 217
    71846 ÷ 131072     		x = 0.548141479492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95615 ÷ 217
    95615 ÷ 131072     		y = 0.729484558105469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.548141479492188 × 2 - 1) × π
    0.096282958984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.30248184
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.729484558105469 × 2 - 1) × π
    -0.458969116210938 × 3.1415926535     		Φ = -1.44189400367167
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.30248184} λ = 0.30248184}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44189400367167))-π/2
    2×atan(0.236479441328633)-π/2
    2×0.232213512757869-π/2
    0.464427025515738-1.57079632675     		φ = -1.10636930
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.30248184} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 17.330933°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10636930 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.390291°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71846 KachelY 95615 0.30248184 -1.10636930 17.330933 -63.390291
    Oben rechts KachelX + 1 71847 KachelY 95615 0.30252977 -1.10636930 17.333679 -63.390291
    Unten links KachelX 71846 KachelY + 1 95616 0.30248184 -1.10639077 17.330933 -63.391522
    Unten rechts KachelX + 1 71847 KachelY + 1 95616 0.30252977 -1.10639077 17.333679 -63.391522
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10636930--1.10639077) × R
    2.14699999998569e-05 × 6371000     		dl = 136.785369999088m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10636930--1.10639077) × R
    2.14699999998569e-05 × 6371000     		dr = 136.785369999088m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.30248184-0.30252977) × cos(-1.10636930) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.447910592058202 × 6371000     		do = 136.77488764932m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.30248184-0.30252977) × cos(-1.10639077) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.447891396092727 × 6371000     		du = 136.769025930335m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10636930)-sin(-1.10639077))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.447910592058202-0.447891396092727)×R²
    abs(0.30252977-0.30248184)×1.9195965474561e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.9195965474561e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.9195965474561e-05×40589641000000     		ar = 18708.4027156096m²