Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71845 / 95635
↖ ↑ ↗
← S 63.414886°
E 17.328186°		 ← 136.69 m → S 63.414886°
E 17.330933°		 →
↑
136.66 m
↓
↑
136.66 m
↓
S 63.416115°
E 17.328186°		 ← 136.68 m →
18 679 m²		 S 63.416115°
E 17.330933°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71845 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95635 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.548137664794922 y=0.729640960693359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.548137664794922 × 217)
    floor (0.548137664794922 × 131072)
    floor (71845.5)     		tx = 71845
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.729640960693359 × 217)
    floor (0.729640960693359 × 131072)
    floor (95635.5)     		ty = 95635
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71845 / 95635 ti = "17/71845/95635"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71845/95635.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71845 ÷ 217
    71845 ÷ 131072     		x = 0.548133850097656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95635 ÷ 217
    95635 ÷ 131072     		y = 0.729637145996094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.548133850097656 × 2 - 1) × π
    0.0962677001953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.30243390
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.729637145996094 × 2 - 1) × π
    -0.459274291992188 × 3.1415926535     		Φ = -1.44285274166407
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.30243390} λ = 0.30243390}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44285274166407))-π/2
    2×atan(0.236252828152499)-π/2
    2×0.231998890313024-π/2
    0.463997780626048-1.57079632675     		φ = -1.10679855
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.30243390} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 17.328186°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10679855 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.414886°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71845 KachelY 95635 0.30243390 -1.10679855 17.328186 -63.414886
    Oben rechts KachelX + 1 71846 KachelY 95635 0.30248184 -1.10679855 17.330933 -63.414886
    Unten links KachelX 71845 KachelY + 1 95636 0.30243390 -1.10682000 17.328186 -63.416115
    Unten rechts KachelX + 1 71846 KachelY + 1 95636 0.30248184 -1.10682000 17.330933 -63.416115
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10679855--1.10682000) × R
    2.14499999999784e-05 × 6371000     		dl = 136.657949999863m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10679855--1.10682000) × R
    2.14499999999784e-05 × 6371000     		dr = 136.657949999863m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.30243390-0.30248184) × cos(-1.10679855) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.447526767671902 × 6371000     		do = 136.686194186067m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.30243390-0.30248184) × cos(-1.10682000) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.447507585465944 × 6371000     		du = 136.680335446618m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10679855)-sin(-1.10682000))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.447526767671902-0.447507585465944)×R²
    abs(0.30248184-0.30243390)×1.91822059577018e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.91822059577018e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.91822059577018e-05×40589641000000     		ar = 18678.8547696578m²