Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71839 / 95475
↖ ↑ ↗
← S 63.217543°
E 17.311707°		 ← 137.63 m → S 63.217543°
E 17.314453°		 →
↑
137.61 m
↓
↑
137.61 m
↓
S 63.218781°
E 17.311707°		 ← 137.62 m →
18 939 m²		 S 63.218781°
E 17.314453°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71839 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95475 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.548091888427734 y=0.728420257568359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.548091888427734 × 217)
    floor (0.548091888427734 × 131072)
    floor (71839.5)     		tx = 71839
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.728420257568359 × 217)
    floor (0.728420257568359 × 131072)
    floor (95475.5)     		ty = 95475
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71839 / 95475 ti = "17/71839/95475"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71839/95475.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71839 ÷ 217
    71839 ÷ 131072     		x = 0.548088073730469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95475 ÷ 217
    95475 ÷ 131072     		y = 0.728416442871094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.548088073730469 × 2 - 1) × π
    0.0961761474609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.30214628
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.728416442871094 × 2 - 1) × π
    -0.456832885742188 × 3.1415926535     		Φ = -1.43518283772486
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.30214628} λ = 0.30214628}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.43518283772486))-π/2
    2×atan(0.238071831523088)-π/2
    2×0.233721029897321-π/2
    0.467442059794641-1.57079632675     		φ = -1.10335427
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.30214628} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 17.311707°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10335427 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.217543°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71839 KachelY 95475 0.30214628 -1.10335427 17.311707 -63.217543
    Oben rechts KachelX + 1 71840 KachelY 95475 0.30219422 -1.10335427 17.314453 -63.217543
    Unten links KachelX 71839 KachelY + 1 95476 0.30214628 -1.10337587 17.311707 -63.218781
    Unten rechts KachelX + 1 71840 KachelY + 1 95476 0.30219422 -1.10337587 17.314453 -63.218781
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10335427--1.10337587) × R
    2.1599999999955e-05 × 6371000     		dl = 137.613599999713m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10335427--1.10337587) × R
    2.1599999999955e-05 × 6371000     		dr = 137.613599999713m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.30214628-0.30219422) × cos(-1.10335427) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.450604225188089 × 6371000     		do = 137.626128925268m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.30214628-0.30219422) × cos(-1.10337587) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.450584942248299 × 6371000     		du = 137.620239419113m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10335427)-sin(-1.10337587))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.450604225188089-0.450584942248299)×R²
    abs(0.30219422-0.30214628)×1.92829397900884e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.92829397900884e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.92829397900884e-05×40589641000000     		ar = 18938.8218180489m²