Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71838 / 95762
↖ ↑ ↗
← S 63.570566°
E 17.308960°		 ← 135.94 m → S 63.570566°
E 17.311707°		 →
↑
135.89 m
↓
↑
135.89 m
↓
S 63.571788°
E 17.308960°		 ← 135.94 m →
18 473 m²		 S 63.571788°
E 17.311707°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71838 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95762 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.548084259033203 y=0.730609893798828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.548084259033203 × 217)
    floor (0.548084259033203 × 131072)
    floor (71838.5)     		tx = 71838
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.730609893798828 × 217)
    floor (0.730609893798828 × 131072)
    floor (95762.5)     		ty = 95762
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71838 / 95762 ti = "17/71838/95762"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71838/95762.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71838 ÷ 217
    71838 ÷ 131072     		x = 0.548080444335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95762 ÷ 217
    95762 ÷ 131072     		y = 0.730606079101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.548080444335938 × 2 - 1) × π
    0.096160888671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.30209834
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.730606079101562 × 2 - 1) × π
    -0.461212158203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.44894072791582
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.30209834} λ = 0.30209834}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44894072791582))-π/2
    2×atan(0.234818893498891)-π/2
    2×0.230640325155084-π/2
    0.461280650310168-1.57079632675     		φ = -1.10951568
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.30209834} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 17.308960°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10951568 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.570566°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71838 KachelY 95762 0.30209834 -1.10951568 17.308960 -63.570566
    Oben rechts KachelX + 1 71839 KachelY 95762 0.30214628 -1.10951568 17.311707 -63.570566
    Unten links KachelX 71838 KachelY + 1 95763 0.30209834 -1.10953701 17.308960 -63.571788
    Unten rechts KachelX + 1 71839 KachelY + 1 95763 0.30214628 -1.10953701 17.311707 -63.571788
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10951568--1.10953701) × R
    2.13300000000416e-05 × 6371000     		dl = 135.893430000265m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10951568--1.10953701) × R
    2.13300000000416e-05 × 6371000     		dr = 135.893430000265m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.30209834-0.30214628) × cos(-1.10951568) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.445095269360991 × 6371000     		do = 135.943552014991m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.30209834-0.30214628) × cos(-1.10953701) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.445076168602611 × 6371000     		du = 135.937718151728m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10951568)-sin(-1.10953701))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.445095269360991-0.445076168602611)×R²
    abs(0.30214628-0.30209834)×1.91007583797975e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.91007583797975e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.91007583797975e-05×40589641000000     		ar = 18473.43917849m²