Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71836 / 95901
↖ ↑ ↗
← S 63.739985°
E 17.303467°		 ← 135.11 m → S 63.739985°
E 17.306213°		 →
↑
135.13 m
↓
↑
135.13 m
↓
S 63.741201°
E 17.303467°		 ← 135.10 m →
18 256 m²		 S 63.741201°
E 17.306213°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71836 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95901 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.548069000244141 y=0.731670379638672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.548069000244141 × 217)
    floor (0.548069000244141 × 131072)
    floor (71836.5)     		tx = 71836
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.731670379638672 × 217)
    floor (0.731670379638672 × 131072)
    floor (95901.5)     		ty = 95901
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71836 / 95901 ti = "17/71836/95901"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71836/95901.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71836 ÷ 217
    71836 ÷ 131072     		x = 0.548065185546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95901 ÷ 217
    95901 ÷ 131072     		y = 0.731666564941406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.548065185546875 × 2 - 1) × π
    0.09613037109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.30200247
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.731666564941406 × 2 - 1) × π
    -0.463333129882812 × 3.1415926535     		Φ = -1.45560395696301
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.30200247} λ = 0.30200247}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.45560395696301))-π/2
    2×atan(0.233259442685664)-π/2
    2×0.229161856701469-π/2
    0.458323713402938-1.57079632675     		φ = -1.11247261
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.30200247} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 17.303467°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11247261 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.739985°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71836 KachelY 95901 0.30200247 -1.11247261 17.303467 -63.739985
    Oben rechts KachelX + 1 71837 KachelY 95901 0.30205040 -1.11247261 17.306213 -63.739985
    Unten links KachelX 71836 KachelY + 1 95902 0.30200247 -1.11249382 17.303467 -63.741201
    Unten rechts KachelX + 1 71837 KachelY + 1 95902 0.30205040 -1.11249382 17.306213 -63.741201
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11247261--1.11249382) × R
    2.12100000001048e-05 × 6371000     		dl = 135.128910000667m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11247261--1.11249382) × R
    2.12100000001048e-05 × 6371000     		dr = 135.128910000667m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.30200247-0.30205040) × cos(-1.11247261) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.442445446186081 × 6371000     		do = 135.106039611564m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.30200247-0.30205040) × cos(-1.11249382) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.442426425055683 × 6371000     		du = 135.100231280572m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11247261)-sin(-1.11249382))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.442445446186081-0.442426425055683)×R²
    abs(0.30205040-0.30200247)×1.90211303984777e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.90211303984777e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.90211303984777e-05×40589641000000     		ar = 18256.33943112m²