Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71835 / 95643
↖ ↑ ↗
← S 63.424717°
E 17.300720°		 ← 136.64 m → S 63.424717°
E 17.303467°		 →
↑
136.66 m
↓
↑
136.66 m
↓
S 63.425946°
E 17.300720°		 ← 136.63 m →
18 672 m²		 S 63.425946°
E 17.303467°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71835 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95643 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.548061370849609 y=0.729701995849609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.548061370849609 × 217)
    floor (0.548061370849609 × 131072)
    floor (71835.5)     		tx = 71835
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.729701995849609 × 217)
    floor (0.729701995849609 × 131072)
    floor (95643.5)     		ty = 95643
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71835 / 95643 ti = "17/71835/95643"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71835/95643.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71835 ÷ 217
    71835 ÷ 131072     		x = 0.548057556152344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95643 ÷ 217
    95643 ÷ 131072     		y = 0.729698181152344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.548057556152344 × 2 - 1) × π
    0.0961151123046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.30195453
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.729698181152344 × 2 - 1) × π
    -0.459396362304688 × 3.1415926535     		Φ = -1.44323623686103
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.30195453} λ = 0.30195453}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44323623686103))-π/2
    2×atan(0.236162243698096)-π/2
    2×0.231913092842727-π/2
    0.463826185685454-1.57079632675     		φ = -1.10697014
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.30195453} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 17.300720°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10697014 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.424717°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71835 KachelY 95643 0.30195453 -1.10697014 17.300720 -63.424717
    Oben rechts KachelX + 1 71836 KachelY 95643 0.30200247 -1.10697014 17.303467 -63.424717
    Unten links KachelX 71835 KachelY + 1 95644 0.30195453 -1.10699159 17.300720 -63.425946
    Unten rechts KachelX + 1 71836 KachelY + 1 95644 0.30200247 -1.10699159 17.303467 -63.425946
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10697014--1.10699159) × R
    2.14499999999784e-05 × 6371000     		dl = 136.657949999863m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10697014--1.10699159) × R
    2.14499999999784e-05 × 6371000     		dr = 136.657949999863m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.30195453-0.30200247) × cos(-1.10697014) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.447373313203025 × 6371000     		do = 136.639325241354m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.30195453-0.30200247) × cos(-1.10699159) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.447354129350216 × 6371000     		du = 136.633465998914m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10697014)-sin(-1.10699159))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.447373313203025-0.447354129350216)×R²
    abs(0.30200247-0.30195453)×1.91838528094679e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.91838528094679e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.91838528094679e-05×40589641000000     		ar = 18672.4497214639m²