Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71832 / 95765
↖ ↑ ↗
← S 63.574233°
E 17.292480°		 ← 135.93 m → S 63.574233°
E 17.295227°		 →
↑
135.96 m
↓
↑
135.96 m
↓
S 63.575455°
E 17.292480°		 ← 135.92 m →
18 480 m²		 S 63.575455°
E 17.295227°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71832 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95765 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.548038482666016 y=0.730632781982422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.548038482666016 × 217)
    floor (0.548038482666016 × 131072)
    floor (71832.5)     		tx = 71832
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.730632781982422 × 217)
    floor (0.730632781982422 × 131072)
    floor (95765.5)     		ty = 95765
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71832 / 95765 ti = "17/71832/95765"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71832/95765.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71832 ÷ 217
    71832 ÷ 131072     		x = 0.54803466796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95765 ÷ 217
    95765 ÷ 131072     		y = 0.730628967285156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.54803466796875 × 2 - 1) × π
    0.0960693359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.30181072
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.730628967285156 × 2 - 1) × π
    -0.461257934570312 × 3.1415926535     		Φ = -1.44908453861468
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.30181072} λ = 0.30181072}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44908453861468))-π/2
    2×atan(0.234785126457801)-π/2
    2×0.230608322484704-π/2
    0.461216644969407-1.57079632675     		φ = -1.10957968
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.30181072} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 17.292480°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10957968 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.574233°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71832 KachelY 95765 0.30181072 -1.10957968 17.292480 -63.574233
    Oben rechts KachelX + 1 71833 KachelY 95765 0.30185866 -1.10957968 17.295227 -63.574233
    Unten links KachelX 71832 KachelY + 1 95766 0.30181072 -1.10960102 17.292480 -63.575455
    Unten rechts KachelX + 1 71833 KachelY + 1 95766 0.30185866 -1.10960102 17.295227 -63.575455
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10957968--1.10960102) × R
    2.13399999999808e-05 × 6371000     		dl = 135.957139999878m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10957968--1.10960102) × R
    2.13399999999808e-05 × 6371000     		dr = 135.957139999878m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.30181072-0.30185866) × cos(-1.10957968) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.445037957523256 × 6371000     		do = 135.926047504697m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.30181072-0.30185866) × cos(-1.10960102) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.445018847202108 × 6371000     		du = 135.920210720719m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10957968)-sin(-1.10960102))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.445037957523256-0.445018847202108)×R²
    abs(0.30185866-0.30181072)×1.91103211480415e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.91103211480415e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.91103211480415e-05×40589641000000     		ar = 18479.7198948596m²