Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 7183 / 1132
↖ ↑ ↗
← N 78.242436°
E135.659180°		 ← 995.73 m → N 78.242436°
E135.703125°		 →
↑
996.04 m
↓
↑
996.04 m
↓
N 78.233478°
E135.659180°		 ← 996.47 m →
992 157 m²		 N 78.233478°
E135.703125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7183 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1132 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.87689208984375 y=0.13824462890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.87689208984375 × 213)
    floor (0.87689208984375 × 8192)
    floor (7183.5)     		tx = 7183
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.13824462890625 × 213)
    floor (0.13824462890625 × 8192)
    floor (1132.5)     		ty = 1132
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7183 / 1132 ti = "13/7183/1132"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7183/1132.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7183 ÷ 213
    7183 ÷ 8192     		x = 0.8768310546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1132 ÷ 213
    1132 ÷ 8192     		y = 0.13818359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8768310546875 × 2 - 1) × π
    0.753662109375 × 3.1415926535     		Λ = 2.36769935
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13818359375 × 2 - 1) × π
    0.7236328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.27335952758154
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.36769935} λ = 2.36769935}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27335952758154))-π/2
    2×atan(9.71197371221944)-π/2
    2×1.46819222554558-π/2
    2.93638445109115-1.57079632675     		φ = 1.36558812
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.36769935} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 135.659180°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36558812 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.242436°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7183 KachelY 1132 2.36769935 1.36558812 135.659180 78.242436
    Oben rechts KachelX + 1 7184 KachelY 1132 2.36846634 1.36558812 135.703125 78.242436
    Unten links KachelX 7183 KachelY + 1 1133 2.36769935 1.36543178 135.659180 78.233478
    Unten rechts KachelX + 1 7184 KachelY + 1 1133 2.36846634 1.36543178 135.703125 78.233478
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36558812-1.36543178) × R
    0.000156339999999977 × 6371000     		dl = 996.042139999854m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36558812-1.36543178) × R
    0.000156339999999977 × 6371000     		dr = 996.042139999854m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.36769935-2.36846634) × cos(1.36558812) × R
    0.000766989999999801 × 0.203771002640575 × 6371000     		do = 995.725637099484m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.36769935-2.36846634) × cos(1.36543178) × R
    0.000766989999999801 × 0.203924059914323 × 6371000     		du = 996.473550440641m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36558812)-sin(1.36543178))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.203771002640575-0.203924059914323)×R²
    abs(2.36846634-2.36769935)×0.000153057273748369×R²
    0.000766989999999801×0.000153057273748369×6371000²
    0.000766989999999801×0.000153057273748369×40589641000000     		ar = 992157.173050063m²