Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 71828 / 95858
↖ ↑ ↗
← S 63.687683°
E 17.281494°		 ← 135.38 m → S 63.687683°
E 17.284241°		 →
↑
135.38 m
↓
↑
135.38 m
↓
S 63.688900°
E 17.281494°		 ← 135.38 m →
18 328 m²		 S 63.688900°
E 17.284241°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71828 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95858 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.548007965087891 y=0.731342315673828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.548007965087891 × 217)
    floor (0.548007965087891 × 131072)
    floor (71828.5)     		tx = 71828
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.731342315673828 × 217)
    floor (0.731342315673828 × 131072)
    floor (95858.5)     		ty = 95858
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71828 / 95858 ti = "17/71828/95858"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71828/95858.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71828 ÷ 217
    71828 ÷ 131072     		x = 0.548004150390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95858 ÷ 217
    95858 ÷ 131072     		y = 0.731338500976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.548004150390625 × 2 - 1) × π
    0.09600830078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.30161897
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.731338500976562 × 2 - 1) × π
    -0.462677001953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.45354267027934
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.30161897} λ = 0.30161897}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.45354267027934))-π/2
    2×atan(0.233740753157723)-π/2
    2×0.229618281821184-π/2
    0.459236563642368-1.57079632675     		φ = -1.11155976
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.30161897} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 17.281494°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11155976 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.687683°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71828 KachelY 95858 0.30161897 -1.11155976 17.281494 -63.687683
    Oben rechts KachelX + 1 71829 KachelY 95858 0.30166691 -1.11155976 17.284241 -63.687683
    Unten links KachelX 71828 KachelY + 1 95859 0.30161897 -1.11158101 17.281494 -63.688900
    Unten rechts KachelX + 1 71829 KachelY + 1 95859 0.30166691 -1.11158101 17.284241 -63.688900
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11155976--1.11158101) × R
    2.12500000000837e-05 × 6371000     		dl = 135.383750000533m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11155976--1.11158101) × R
    2.12500000000837e-05 × 6371000     		dr = 135.383750000533m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.30161897-0.30166691) × cos(-1.11155976) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.443263901428654 × 6371000     		do = 135.384205109202m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.30161897-0.30166691) × cos(-1.11158101) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.443244853016402 × 6371000     		du = 135.378387233794m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11155976)-sin(-1.11158101))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.443263901428654-0.443244853016402)×R²
    abs(0.30166691-0.30161897)×1.90484122525869e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.90484122525869e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.90484122525869e-05×40589641000000     		ar = 18328.4275562465m²