Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71828 / 95701
↖ ↑ ↗
← S 63.495896°
E 17.281494°		 ← 136.30 m → S 63.495896°
E 17.284241°		 →
↑
136.28 m
↓
↑
136.28 m
↓
S 63.497122°
E 17.281494°		 ← 136.29 m →
18 574 m²		 S 63.497122°
E 17.284241°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71828 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95701 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.548007965087891 y=0.730144500732422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.548007965087891 × 217)
    floor (0.548007965087891 × 131072)
    floor (71828.5)     		tx = 71828
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.730144500732422 × 217)
    floor (0.730144500732422 × 131072)
    floor (95701.5)     		ty = 95701
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71828 / 95701 ti = "17/71828/95701"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71828/95701.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71828 ÷ 217
    71828 ÷ 131072     		x = 0.548004150390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95701 ÷ 217
    95701 ÷ 131072     		y = 0.730140686035156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.548004150390625 × 2 - 1) × π
    0.09600830078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.30161897
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.730140686035156 × 2 - 1) × π
    -0.460281372070312 × 3.1415926535     		Φ = -1.44601657703899
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.30161897} λ = 0.30161897}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44601657703899))-π/2
    2×atan(0.235506544279538)-π/2
    2×0.231291940601015-π/2
    0.46258388120203-1.57079632675     		φ = -1.10821245
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.30161897} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 17.281494°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10821245 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.495896°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71828 KachelY 95701 0.30161897 -1.10821245 17.281494 -63.495896
    Oben rechts KachelX + 1 71829 KachelY 95701 0.30166691 -1.10821245 17.284241 -63.495896
    Unten links KachelX 71828 KachelY + 1 95702 0.30161897 -1.10823384 17.281494 -63.497122
    Unten rechts KachelX + 1 71829 KachelY + 1 95702 0.30166691 -1.10823384 17.284241 -63.497122
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10821245--1.10823384) × R
    2.1390000000121e-05 × 6371000     		dl = 136.275690000771m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10821245--1.10823384) × R
    2.1390000000121e-05 × 6371000     		dr = 136.275690000771m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.30161897-0.30166691) × cos(-1.10821245) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.446261911653551 × 6371000     		do = 136.299874600669m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.30161897-0.30166691) × cos(-1.10823384) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.446242769589118 × 6371000     		du = 136.294028121474m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10821245)-sin(-1.10823384))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.446261911653551-0.446242769589118)×R²
    abs(0.30166691-0.30161897)×1.91420644323759e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.91420644323759e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.91420644323759e-05×40589641000000     		ar = 18573.9610925471m²