Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71828 / 95628
↖ ↑ ↗
← S 63.406280°
E 17.281494°		 ← 136.73 m → S 63.406280°
E 17.284241°		 →
↑
136.72 m
↓
↑
136.72 m
↓
S 63.407509°
E 17.281494°		 ← 136.72 m →
18 693 m²		 S 63.407509°
E 17.284241°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71828 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95628 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.548007965087891 y=0.729587554931641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.548007965087891 × 217)
    floor (0.548007965087891 × 131072)
    floor (71828.5)     		tx = 71828
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.729587554931641 × 217)
    floor (0.729587554931641 × 131072)
    floor (95628.5)     		ty = 95628
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71828 / 95628 ti = "17/71828/95628"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71828/95628.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71828 ÷ 217
    71828 ÷ 131072     		x = 0.548004150390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95628 ÷ 217
    95628 ÷ 131072     		y = 0.729583740234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.548004150390625 × 2 - 1) × π
    0.09600830078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.30161897
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.729583740234375 × 2 - 1) × π
    -0.45916748046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.44251718336673
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.30161897} λ = 0.30161897}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44251718336673))-π/2
    2×atan(0.236332118051703)-π/2
    2×0.232073987240379-π/2
    0.464147974480758-1.57079632675     		φ = -1.10664835
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.30161897} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 17.281494°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10664835 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.406280°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71828 KachelY 95628 0.30161897 -1.10664835 17.281494 -63.406280
    Oben rechts KachelX + 1 71829 KachelY 95628 0.30166691 -1.10664835 17.284241 -63.406280
    Unten links KachelX 71828 KachelY + 1 95629 0.30161897 -1.10666981 17.281494 -63.407509
    Unten rechts KachelX + 1 71829 KachelY + 1 95629 0.30166691 -1.10666981 17.284241 -63.407509
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10664835--1.10666981) × R
    2.14600000001397e-05 × 6371000     		dl = 136.72166000089m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10664835--1.10666981) × R
    2.14600000001397e-05 × 6371000     		dr = 136.72166000089m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.30161897-0.30166691) × cos(-1.10664835) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.447661082057848 × 6371000     		do = 136.727217256788m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.30161897-0.30166691) × cos(-1.10666981) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.447641892351784 × 6371000     		du = 136.721356226613m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10664835)-sin(-1.10666981))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.447661082057848-0.447641892351784)×R²
    abs(0.30166691-0.30161897)×1.91897060642932e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.91897060642932e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.91897060642932e-05×40589641000000     		ar = 18693.1714463059m²