Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71823 / 95702
↖ ↑ ↗
← S 63.497122°
E 17.267761°		 ← 136.27 m → S 63.497122°
E 17.270508°		 →
↑
136.28 m
↓
↑
136.28 m
↓
S 63.498347°
E 17.267761°		 ← 136.26 m →
18 569 m²		 S 63.498347°
E 17.270508°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71823 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95702 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.547969818115234 y=0.730152130126953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.547969818115234 × 217)
    floor (0.547969818115234 × 131072)
    floor (71823.5)     		tx = 71823
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.730152130126953 × 217)
    floor (0.730152130126953 × 131072)
    floor (95702.5)     		ty = 95702
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71823 / 95702 ti = "17/71823/95702"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71823/95702.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71823 ÷ 217
    71823 ÷ 131072     		x = 0.547966003417969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95702 ÷ 217
    95702 ÷ 131072     		y = 0.730148315429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.547966003417969 × 2 - 1) × π
    0.0959320068359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.30137929
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.730148315429688 × 2 - 1) × π
    -0.460296630859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.44606451393861
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.30137929} λ = 0.30137929}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44606451393861))-π/2
    2×atan(0.235495255096552)-π/2
    2×0.231281244624114-π/2
    0.462562489248228-1.57079632675     		φ = -1.10823384
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.30137929} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 17.267761°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10823384 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.497122°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71823 KachelY 95702 0.30137929 -1.10823384 17.267761 -63.497122
    Oben rechts KachelX + 1 71824 KachelY 95702 0.30142722 -1.10823384 17.270508 -63.497122
    Unten links KachelX 71823 KachelY + 1 95703 0.30137929 -1.10825523 17.267761 -63.498347
    Unten rechts KachelX + 1 71824 KachelY + 1 95703 0.30142722 -1.10825523 17.270508 -63.498347
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10823384--1.10825523) × R
    2.1389999999899e-05 × 6371000     		dl = 136.275689999356m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10823384--1.10825523) × R
    2.1389999999899e-05 × 6371000     		dr = 136.275689999356m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.30137929-0.30142722) × cos(-1.10823384) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.446242769589118 × 6371000     		do = 136.265597994481m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.30137929-0.30142722) × cos(-1.10825523) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.446223627320516 × 6371000     		du = 136.259752672482m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10823384)-sin(-1.10825523))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.446242769589118-0.446223627320516)×R²
    abs(0.30142722-0.30137929)×1.91422686025566e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.91422686025566e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.91422686025566e-05×40589641000000     		ar = 18569.2901028516m²