Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7182 / 10909
↖ ↑ ↗
← S 51.138002°
W 22.192383°		 ← 1 533.03 m → S 51.138002°
W 22.170410°		 →
↑
1 532.80 m
↓
↑
1 532.80 m
↓
S 51.151786°
W 22.192383°		 ← 1 532.57 m →
2 349 471 m²		 S 51.151786°
W 22.170410°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7182 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10909 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438385009765625 y=0.665863037109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438385009765625 × 214)
    floor (0.438385009765625 × 16384)
    floor (7182.5)     		tx = 7182
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.665863037109375 × 214)
    floor (0.665863037109375 × 16384)
    floor (10909.5)     		ty = 10909
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7182 / 10909 ti = "14/7182/10909"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7182/10909.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7182 ÷ 214
    7182 ÷ 16384     		x = 0.4383544921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10909 ÷ 214
    10909 ÷ 16384     		y = 0.66583251953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4383544921875 × 2 - 1) × π
    -0.123291015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.38733015
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.66583251953125 × 2 - 1) × π
    -0.3316650390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.04195645014154
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38733015} λ = -0.38733015}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.04195645014154))-π/2
    2×atan(0.352763841514037)-π/2
    2×0.339134913978566-π/2
    0.678269827957131-1.57079632675     		φ = -0.89252650
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38733015} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.192383°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89252650 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.138002°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7182 KachelY 10909 -0.38733015 -0.89252650 -22.192383 -51.138002
    Oben rechts KachelX + 1 7183 KachelY 10909 -0.38694665 -0.89252650 -22.170410 -51.138002
    Unten links KachelX 7182 KachelY + 1 10910 -0.38733015 -0.89276709 -22.192383 -51.151786
    Unten rechts KachelX + 1 7183 KachelY + 1 10910 -0.38694665 -0.89276709 -22.170410 -51.151786
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89252650--0.89276709) × R
    0.000240589999999985 × 6371000     		dl = 1532.7988899999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89252650--0.89276709) × R
    0.000240589999999985 × 6371000     		dr = 1532.7988899999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38733015--0.38694665) × cos(-0.89252650) × R
    0.000383499999999981 × 0.627446748061166 × 6371000     		do = 1533.02714943269m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38733015--0.38694665) × cos(-0.89276709) × R
    0.000383499999999981 × 0.627259392220409 × 6371000     		du = 1532.56938693512m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89252650)-sin(-0.89276709))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.627446748061166-0.627259392220409)×R²
    abs(-0.38694665--0.38733015)×0.000187355840757464×R²
    0.000383499999999981×0.000187355840757464×6371000²
    0.000383499999999981×0.000187355840757464×40589641000000     		ar = 2349471.49539963m²