Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71811 / 95618
↖ ↑ ↗
← S 63.393982°
E 17.234803°		 ← 136.76 m → S 63.393982°
E 17.237549°		 →
↑
136.79 m
↓
↑
136.79 m
↓
S 63.395212°
E 17.234803°		 ← 136.75 m →
18 706 m²		 S 63.395212°
E 17.237549°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71811 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95618 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.547878265380859 y=0.729511260986328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.547878265380859 × 217)
    floor (0.547878265380859 × 131072)
    floor (71811.5)     		tx = 71811
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.729511260986328 × 217)
    floor (0.729511260986328 × 131072)
    floor (95618.5)     		ty = 95618
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71811 / 95618 ti = "17/71811/95618"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71811/95618.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71811 ÷ 217
    71811 ÷ 131072     		x = 0.547874450683594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95618 ÷ 217
    95618 ÷ 131072     		y = 0.729507446289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.547874450683594 × 2 - 1) × π
    0.0957489013671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.30080405
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.729507446289062 × 2 - 1) × π
    -0.459014892578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.44203781437053
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.30080405} λ = 0.30080405}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44203781437053))-π/2
    2×atan(0.236445435500169)-π/2
    2×0.232181307660817-π/2
    0.464362615321633-1.57079632675     		φ = -1.10643371
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.30080405} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 17.234803°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10643371 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.393982°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71811 KachelY 95618 0.30080405 -1.10643371 17.234803 -63.393982
    Oben rechts KachelX + 1 71812 KachelY 95618 0.30085198 -1.10643371 17.237549 -63.393982
    Unten links KachelX 71811 KachelY + 1 95619 0.30080405 -1.10645518 17.234803 -63.395212
    Unten rechts KachelX + 1 71812 KachelY + 1 95619 0.30085198 -1.10645518 17.237549 -63.395212
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10643371--1.10645518) × R
    2.14700000000789e-05 × 6371000     		dl = 136.785370000503m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10643371--1.10645518) × R
    2.14700000000789e-05 × 6371000     		dr = 136.785370000503m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.30080405-0.30085198) × cos(-1.10643371) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.447853003542406 × 6371000     		do = 136.75730230339m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.30080405-0.30085198) × cos(-1.10645518) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.447833806957576 × 6371000     		du = 136.751440395277m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10643371)-sin(-1.10645518))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.447853003542406-0.447833806957576)×R²
    abs(0.30085198-0.30080405)×1.91965848295172e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.91965848295172e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.91965848295172e-05×40589641000000     		ar = 18705.9972848703m²