Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7181 / 5525
↖ ↑ ↗
← N 50.443513°
W 22.214355°		 ← 1 555.93 m → N 50.443513°
W 22.192383°		 →
↑
1 556.18 m
↓
↑
1 556.18 m
↓
N 50.429518°
W 22.214355°		 ← 1 556.39 m →
2 421 671 m²		 N 50.429518°
W 22.192383°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7181 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5525 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438323974609375 y=0.337249755859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438323974609375 × 214)
    floor (0.438323974609375 × 16384)
    floor (7181.5)     		tx = 7181
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.337249755859375 × 214)
    floor (0.337249755859375 × 16384)
    floor (5525.5)     		ty = 5525
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7181 / 5525 ti = "14/7181/5525"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7181/5525.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7181 ÷ 214
    7181 ÷ 16384     		x = 0.43829345703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5525 ÷ 214
    5525 ÷ 16384     		y = 0.33721923828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43829345703125 × 2 - 1) × π
    -0.1234130859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.38771364
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33721923828125 × 2 - 1) × π
    0.3255615234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.02278169029352
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38771364} λ = -0.38771364}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02278169029352))-π/2
    2×atan(2.78091967209108)-π/2
    2×1.2256008579072-π/2
    2.45120171581441-1.57079632675     		φ = 0.88040539
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38771364} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.214355°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88040539 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.443513°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7181 KachelY 5525 -0.38771364 0.88040539 -22.214355 50.443513
    Oben rechts KachelX + 1 7182 KachelY 5525 -0.38733015 0.88040539 -22.192383 50.443513
    Unten links KachelX 7181 KachelY + 1 5526 -0.38771364 0.88016113 -22.214355 50.429518
    Unten rechts KachelX + 1 7182 KachelY + 1 5526 -0.38733015 0.88016113 -22.192383 50.429518
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88040539-0.88016113) × R
    0.000244259999999996 × 6371000     		dl = 1556.18045999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88040539-0.88016113) × R
    0.000244259999999996 × 6371000     		dr = 1556.18045999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38771364--0.38733015) × cos(0.88040539) × R
    0.000383490000000042 × 0.636838642017977 × 6371000     		do = 1555.93358902201m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38771364--0.38733015) × cos(0.88016113) × R
    0.000383490000000042 × 0.637026946772422 × 6371000     		du = 1556.39365798309m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88040539)-sin(0.88016113))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.636838642017977-0.637026946772422)×R²
    abs(-0.38733015--0.38771364)×0.000188304754444868×R²
    0.000383490000000042×0.000188304754444868×6371000²
    0.000383490000000042×0.000188304754444868×40589641000000     		ar = 2421671.43549775m²