Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 7180 / 9196
↖ ↑ ↗
← N 78.084694°
W140.559082°		 ← 126.11 m → N 78.084694°
W140.553589°		 →
↑
126.15 m
↓
↑
126.15 m
↓
N 78.083559°
W140.559082°		 ← 126.12 m →
15 909 m²		 N 78.083559°
W140.553589°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7180 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9196 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.109565734863281 y=0.140327453613281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.109565734863281 × 216)
    floor (0.109565734863281 × 65536)
    floor (7180.5)     		tx = 7180
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.140327453613281 × 216)
    floor (0.140327453613281 × 65536)
    floor (9196.5)     		ty = 9196
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 7180 / 9196 ti = "16/7180/9196"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/7180/9196.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7180 ÷ 216
    7180 ÷ 65536     		x = 0.10955810546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9196 ÷ 216
    9196 ÷ 65536     		y = 0.14031982421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.10955810546875 × 2 - 1) × π
    -0.7808837890625 × 3.1415926535     		Λ = -2.45321877
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14031982421875 × 2 - 1) × π
    0.7193603515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.25993719568793
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.45321877} λ = -2.45321877}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25993719568793))-π/2
    2×atan(9.58248732634102)-π/2
    2×1.46681566157481-π/2
    2.93363132314962-1.57079632675     		φ = 1.36283500
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.45321877} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -140.559082°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36283500 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.084694°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7180 KachelY 9196 -2.45321877 1.36283500 -140.559082 78.084694
    Oben rechts KachelX + 1 7181 KachelY 9196 -2.45312290 1.36283500 -140.553589 78.084694
    Unten links KachelX 7180 KachelY + 1 9197 -2.45321877 1.36281520 -140.559082 78.083559
    Unten rechts KachelX + 1 7181 KachelY + 1 9197 -2.45312290 1.36281520 -140.553589 78.083559
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36283500-1.36281520) × R
    1.98000000000143e-05 × 6371000     		dl = 126.145800000091m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36283500-1.36281520) × R
    1.98000000000143e-05 × 6371000     		dr = 126.145800000091m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.45321877--2.45312290) × cos(1.36283500) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.206465582608486 × 6371000     		do = 126.106652783185m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.45321877--2.45312290) × cos(1.36281520) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.206484955954513 × 6371000     		du = 126.118485786002m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36283500)-sin(1.36281520))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.206465582608486-0.206484955954513)×R²
    abs(-2.45312290--2.45321877)×1.93733460266687e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.93733460266687e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.93733460266687e-05×40589641000000     		ar = 15908.5709426435m²