Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7180 / 5301
↖ ↑ ↗
← N 53.474970°
W 22.236328°		 ← 1 454.18 m → N 53.474970°
W 22.214355°		 →
↑
1 454.37 m
↓
↑
1 454.37 m
↓
N 53.461890°
W 22.236328°		 ← 1 454.62 m →
2 115 238 m²		 N 53.461890°
W 22.214355°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7180 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5301 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438262939453125 y=0.323577880859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438262939453125 × 214)
    floor (0.438262939453125 × 16384)
    floor (7180.5)     		tx = 7180
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.323577880859375 × 214)
    floor (0.323577880859375 × 16384)
    floor (5301.5)     		ty = 5301
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7180 / 5301 ti = "14/7180/5301"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7180/5301.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7180 ÷ 214
    7180 ÷ 16384     		x = 0.438232421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5301 ÷ 214
    5301 ÷ 16384     		y = 0.32354736328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438232421875 × 2 - 1) × π
    -0.12353515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.38809714
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32354736328125 × 2 - 1) × π
    0.3529052734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.10868461441266
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38809714} λ = -0.38809714}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10868461441266))-π/2
    2×atan(3.03036966706917)-π/2
    2×1.25205531033667-π/2
    2.50411062067335-1.57079632675     		φ = 0.93331429
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38809714} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.236328°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93331429 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.474970°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7180 KachelY 5301 -0.38809714 0.93331429 -22.236328 53.474970
    Oben rechts KachelX + 1 7181 KachelY 5301 -0.38771364 0.93331429 -22.214355 53.474970
    Unten links KachelX 7180 KachelY + 1 5302 -0.38809714 0.93308601 -22.236328 53.461890
    Unten rechts KachelX + 1 7181 KachelY + 1 5302 -0.38771364 0.93308601 -22.214355 53.461890
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93331429-0.93308601) × R
    0.00022827999999997 × 6371000     		dl = 1454.37187999981m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93331429-0.93308601) × R
    0.00022827999999997 × 6371000     		dr = 1454.37187999981m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38809714--0.38771364) × cos(0.93331429) × R
    0.000383499999999981 × 0.595173902741245 × 6371000     		do = 1454.1756003287m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38809714--0.38771364) × cos(0.93308601) × R
    0.000383499999999981 × 0.595357332338995 × 6371000     		du = 1454.62376992115m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93331429)-sin(0.93308601))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.595173902741245-0.595357332338995)×R²
    abs(-0.38771364--0.38809714)×0.00018342959774964×R²
    0.000383499999999981×0.00018342959774964×6371000²
    0.000383499999999981×0.00018342959774964×40589641000000     		ar = 2115238.01351259m²