Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 718 / 881
↖ ↑ ↗
← N 24.367114°
W 53.789062°		 ← 17.805 km → N 24.367114°
W 53.613281°		 →
↑
17.816 km
↓
↑
17.816 km
↓
N 24.206890°
W 53.789062°		 ← 17.827 km →
317.412 km²		 N 24.206890°
W 53.613281°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 718 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 881 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.350830078125 y=0.430419921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.350830078125 × 211)
    floor (0.350830078125 × 2048)
    floor (718.5)     		tx = 718
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.430419921875 × 211)
    floor (0.430419921875 × 2048)
    floor (881.5)     		ty = 881
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 718 / 881 ti = "11/718/881"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/718/881.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 718 ÷ 211
    718 ÷ 2048     		x = 0.3505859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 881 ÷ 211
    881 ÷ 2048     		y = 0.43017578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3505859375 × 2 - 1) × π
    -0.298828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.93879624
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.43017578125 × 2 - 1) × π
    0.1396484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.438718505322754
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.93879624} λ = -0.93879624}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.438718505322754))-π/2
    2×atan(1.55071870688116)-π/2
    2×0.998041343829552-π/2
    1.9960826876591-1.57079632675     		φ = 0.42528636
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.93879624} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -53.789062°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42528636 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.367114°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 718 KachelY 881 -0.93879624 0.42528636 -53.789062 24.367114
    Oben rechts KachelX + 1 719 KachelY 881 -0.93572828 0.42528636 -53.613281 24.367114
    Unten links KachelX 718 KachelY + 1 882 -0.93879624 0.42248993 -53.789062 24.206890
    Unten rechts KachelX + 1 719 KachelY + 1 882 -0.93572828 0.42248993 -53.613281 24.206890
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42528636-0.42248993) × R
    0.00279642999999996 × 6371000     		dl = 17816.0555299998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42528636-0.42248993) × R
    0.00279642999999996 × 6371000     		dr = 17816.0555299998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.93879624--0.93572828) × cos(0.42528636) × R
    0.00306795999999998 × 0.910920623423066 × 6371000     		do = 17804.8300563176m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.93879624--0.93572828) × cos(0.42248993) × R
    0.00306795999999998 × 0.91207081591576 × 6371000     		du = 17827.3116879086m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42528636)-sin(0.42248993))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.910920623423066-0.91207081591576)×R²
    abs(-0.93572828--0.93879624)×0.00115019249269366×R²
    0.00306795999999998×0.00115019249269366×6371000²
    0.00306795999999998×0.00115019249269366×40589641000000     		ar = 317412314.83158m²