Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 718 / 879
↖ ↑ ↗
← N 24.686952°
W 53.789062°		 ← 17.760 km → N 24.686952°
W 53.613281°		 →
↑
17.771 km
↓
↑
17.771 km
↓
N 24.527135°
W 53.789062°		 ← 17.782 km →
315.805 km²		 N 24.527135°
W 53.613281°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 718 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 879 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.350830078125 y=0.429443359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.350830078125 × 211)
    floor (0.350830078125 × 2048)
    floor (718.5)     		tx = 718
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.429443359375 × 211)
    floor (0.429443359375 × 2048)
    floor (879.5)     		ty = 879
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 718 / 879 ti = "11/718/879"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/718/879.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 718 ÷ 211
    718 ÷ 2048     		x = 0.3505859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 879 ÷ 211
    879 ÷ 2048     		y = 0.42919921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3505859375 × 2 - 1) × π
    -0.298828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.93879624
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42919921875 × 2 - 1) × π
    0.1416015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.444854428474121
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.93879624} λ = -0.93879624}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.444854428474121))-π/2
    2×atan(1.56026304942717)-π/2
    2×1.00083246432794-π/2
    2.00166492865588-1.57079632675     		φ = 0.43086860
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.93879624} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -53.789062°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43086860 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.686952°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 718 KachelY 879 -0.93879624 0.43086860 -53.789062 24.686952
    Oben rechts KachelX + 1 719 KachelY 879 -0.93572828 0.43086860 -53.613281 24.686952
    Unten links KachelX 718 KachelY + 1 880 -0.93879624 0.42807926 -53.789062 24.527135
    Unten rechts KachelX + 1 719 KachelY + 1 880 -0.93572828 0.42807926 -53.613281 24.527135
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43086860-0.42807926) × R
    0.00278933999999997 × 6371000     		dl = 17770.8851399998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43086860-0.42807926) × R
    0.00278933999999997 × 6371000     		dr = 17770.8851399998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.93879624--0.93572828) × cos(0.43086860) × R
    0.00306795999999998 × 0.90860331284959 × 6371000     		do = 17759.535966045m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.93879624--0.93572828) × cos(0.42807926) × R
    0.00306795999999998 × 0.909764772910752 × 6371000     		du = 17782.2378332269m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43086860)-sin(0.42807926))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.90860331284959-0.909764772910752)×R²
    abs(-0.93572828--0.93879624)×0.00116146006116224×R²
    0.00306795999999998×0.00116146006116224×6371000²
    0.00306795999999998×0.00116146006116224×40589641000000     		ar = 315804594.687025m²