Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71798 / 95826
↖ ↑ ↗
← S 63.648698°
E 17.199097°		 ← 135.54 m → S 63.648698°
E 17.201843°		 →
↑
135.51 m
↓
↑
135.51 m
↓
S 63.649916°
E 17.199097°		 ← 135.54 m →
18 367 m²		 S 63.649916°
E 17.201843°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71798 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95826 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.547779083251953 y=0.731098175048828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.547779083251953 × 217)
    floor (0.547779083251953 × 131072)
    floor (71798.5)     		tx = 71798
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.731098175048828 × 217)
    floor (0.731098175048828 × 131072)
    floor (95826.5)     		ty = 95826
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71798 / 95826 ti = "17/71798/95826"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71798/95826.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71798 ÷ 217
    71798 ÷ 131072     		x = 0.547775268554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95826 ÷ 217
    95826 ÷ 131072     		y = 0.731094360351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.547775268554688 × 2 - 1) × π
    0.095550537109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.30018087
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.731094360351562 × 2 - 1) × π
    -0.462188720703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.4520086894915
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.30018087} λ = 0.30018087}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.4520086894915))-π/2
    2×atan(0.234099582130415)-π/2
    2×0.229958494797941-π/2
    0.459916989595881-1.57079632675     		φ = -1.11087934
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.30018087} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 17.199097°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11087934 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.648698°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71798 KachelY 95826 0.30018087 -1.11087934 17.199097 -63.648698
    Oben rechts KachelX + 1 71799 KachelY 95826 0.30022880 -1.11087934 17.201843 -63.648698
    Unten links KachelX 71798 KachelY + 1 95827 0.30018087 -1.11090061 17.199097 -63.649916
    Unten rechts KachelX + 1 71799 KachelY + 1 95827 0.30022880 -1.11090061 17.201843 -63.649916
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11087934--1.11090061) × R
    2.12699999999622e-05 × 6371000     		dl = 135.511169999759m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11087934--1.11090061) × R
    2.12699999999622e-05 × 6371000     		dr = 135.511169999759m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.30018087-0.30022880) × cos(-1.11087934) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.443873721246179 × 6371000     		do = 135.54218058347m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.30018087-0.30022880) × cos(-1.11090061) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.443854661325341 × 6371000     		du = 135.536360407352m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11087934)-sin(-1.11090061))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.443873721246179-0.443854661325341)×R²
    abs(0.30022880-0.30018087)×1.90599208374498e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.90599208374498e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.90599208374498e-05×40589641000000     		ar = 18367.0851265227m²