Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71796 / 95948
↖ ↑ ↗
← S 63.797043°
E 17.193603°		 ← 134.86 m → S 63.797043°
E 17.196350°		 →
↑
134.87 m
↓
↑
134.87 m
↓
S 63.798256°
E 17.193603°		 ← 134.86 m →
18 189 m²		 S 63.798256°
E 17.196350°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71796 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95948 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.547763824462891 y=0.732028961181641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.547763824462891 × 217)
    floor (0.547763824462891 × 131072)
    floor (71796.5)     		tx = 71796
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.732028961181641 × 217)
    floor (0.732028961181641 × 131072)
    floor (95948.5)     		ty = 95948
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71796 / 95948 ti = "17/71796/95948"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71796/95948.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71796 ÷ 217
    71796 ÷ 131072     		x = 0.547760009765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95948 ÷ 217
    95948 ÷ 131072     		y = 0.732025146484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.547760009765625 × 2 - 1) × π
    0.09552001953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.30008499
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.732025146484375 × 2 - 1) × π
    -0.46405029296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.45785699124515
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.30008499} λ = 0.30008499}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.45785699124515))-π/2
    2×atan(0.232734492751819)-π/2
    2×0.22866393760306-π/2
    0.457327875206121-1.57079632675     		φ = -1.11346845
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.30008499} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 17.193603°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11346845 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.797043°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71796 KachelY 95948 0.30008499 -1.11346845 17.193603 -63.797043
    Oben rechts KachelX + 1 71797 KachelY 95948 0.30013293 -1.11346845 17.196350 -63.797043
    Unten links KachelX 71796 KachelY + 1 95949 0.30008499 -1.11348962 17.193603 -63.798256
    Unten rechts KachelX + 1 71797 KachelY + 1 95949 0.30013293 -1.11348962 17.196350 -63.798256
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11346845--1.11348962) × R
    2.11699999999038e-05 × 6371000     		dl = 134.874069999387m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11346845--1.11348962) × R
    2.11699999999038e-05 × 6371000     		dr = 134.874069999387m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.30008499-0.30013293) × cos(-1.11346845) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.441552162195668 × 6371000     		do = 134.86139588728m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.30008499-0.30013293) × cos(-1.11348962) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.441533167619472 × 6371000     		du = 134.855594454789m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11346845)-sin(-1.11348962))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.441552162195668-0.441533167619472)×R²
    abs(0.30013293-0.30008499)×1.89945761961963e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.89945761961963e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.89945761961963e-05×40589641000000     		ar = 18188.9141182858m²