Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71789 / 95575
↖ ↑ ↗
← S 63.341041°
E 17.174377°		 ← 137.04 m → S 63.341041°
E 17.177124°		 →
↑
136.98 m
↓
↑
136.98 m
↓
S 63.342272°
E 17.174377°		 ← 137.03 m →
18 771 m²		 S 63.342272°
E 17.177124°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71789 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95575 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.547710418701172 y=0.729183197021484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.547710418701172 × 217)
    floor (0.547710418701172 × 131072)
    floor (71789.5)     		tx = 71789
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.729183197021484 × 217)
    floor (0.729183197021484 × 131072)
    floor (95575.5)     		ty = 95575
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71789 / 95575 ti = "17/71789/95575"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71789/95575.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71789 ÷ 217
    71789 ÷ 131072     		x = 0.547706604003906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95575 ÷ 217
    95575 ÷ 131072     		y = 0.729179382324219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.547706604003906 × 2 - 1) × π
    0.0954132080078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.29974943
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.729179382324219 × 2 - 1) × π
    -0.458358764648438 × 3.1415926535     		Φ = -1.43997652768687
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.29974943} λ = 0.29974943}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.43997652768687))-π/2
    2×atan(0.236933319989932)-π/2
    2×0.232643309916937-π/2
    0.465286619833874-1.57079632675     		φ = -1.10550971
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.29974943} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 17.174377°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10550971 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.341041°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71789 KachelY 95575 0.29974943 -1.10550971 17.174377 -63.341041
    Oben rechts KachelX + 1 71790 KachelY 95575 0.29979737 -1.10550971 17.177124 -63.341041
    Unten links KachelX 71789 KachelY + 1 95576 0.29974943 -1.10553121 17.174377 -63.342272
    Unten rechts KachelX + 1 71790 KachelY + 1 95576 0.29979737 -1.10553121 17.177124 -63.342272
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10550971--1.10553121) × R
    2.15000000001186e-05 × 6371000     		dl = 136.976500000756m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10550971--1.10553121) × R
    2.15000000001186e-05 × 6371000     		dr = 136.976500000756m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.29974943-0.29979737) × cos(-1.10550971) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.448678967295686 × 6371000     		do = 137.03810560879m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.29974943-0.29979737) × cos(-1.10553121) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.448659752792414 × 6371000     		du = 137.032237004909m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10550971)-sin(-1.10553121))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.448678967295686-0.448659752792414)×R²
    abs(0.29979737-0.29974943)×1.92145032724134e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.92145032724134e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.92145032724134e-05×40589641000000     		ar = 18770.5981432907m²