Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71786 / 95576
↖ ↑ ↗
← S 63.342272°
E 17.166138°		 ← 137.03 m → S 63.342272°
E 17.168884°		 →
↑
137.04 m
↓
↑
137.04 m
↓
S 63.343505°
E 17.166138°		 ← 137.03 m →
18 779 m²		 S 63.343505°
E 17.168884°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71786 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95576 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.547687530517578 y=0.729190826416016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.547687530517578 × 217)
    floor (0.547687530517578 × 131072)
    floor (71786.5)     		tx = 71786
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.729190826416016 × 217)
    floor (0.729190826416016 × 131072)
    floor (95576.5)     		ty = 95576
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71786 / 95576 ti = "17/71786/95576"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71786/95576.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71786 ÷ 217
    71786 ÷ 131072     		x = 0.547683715820312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95576 ÷ 217
    95576 ÷ 131072     		y = 0.72918701171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.547683715820312 × 2 - 1) × π
    0.095367431640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.29960562
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.72918701171875 × 2 - 1) × π
    -0.4583740234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.44002446458649
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.29960562} λ = 0.29960562}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44002446458649))-π/2
    2×atan(0.23692196241338)-π/2
    2×0.232632556007919-π/2
    0.465265112015839-1.57079632675     		φ = -1.10553121
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.29960562} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 17.166138°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10553121 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.342272°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71786 KachelY 95576 0.29960562 -1.10553121 17.166138 -63.342272
    Oben rechts KachelX + 1 71787 KachelY 95576 0.29965356 -1.10553121 17.168884 -63.342272
    Unten links KachelX 71786 KachelY + 1 95577 0.29960562 -1.10555272 17.166138 -63.343505
    Unten rechts KachelX + 1 71787 KachelY + 1 95577 0.29965356 -1.10555272 17.168884 -63.343505
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10553121--1.10555272) × R
    2.15099999998358e-05 × 6371000     		dl = 137.040209998954m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10553121--1.10555272) × R
    2.15099999998358e-05 × 6371000     		dr = 137.040209998954m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.29960562-0.29965356) × cos(-1.10553121) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.448659752792414 × 6371000     		do = 137.03223700475m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.29960562-0.29965356) × cos(-1.10555272) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.448640529144626 × 6371000     		du = 137.026365607899m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10553121)-sin(-1.10555272))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.448659752792414-0.448640529144626)×R²
    abs(0.29965356-0.29960562)×1.92236477881136e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.92236477881136e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.92236477881136e-05×40589641000000     		ar = 18778.5242276835m²